Tres problemas, uno por nivel.

Para los que esten interesados les dejo tres problemas para que practiquen para la Cuarta Fase, escriban sus dudas, soluciones, comentarios, etc.

Para Nivel 1.

¿Es posible escribir los números en un tablero de de modo que dos números consecutivos cualesquiera estén escritos en casillas vecinas, y además todos los cuadrados perfectos estén en la misma columna ?

Aclaración: Dos casillas son vecinas si comparten un lado.

Para Nivel 2.

Un repunit es un número cuya representación decimal consiste solamente de unos, es decir, un número de la forma .

Pruebe que existen infinitos polinomios , de coeficientes enteros positivos, que tienen la siguiente propiedad: » Si es un repunit entonces también es un repunit».

Para Nivel 3.

Un pentágono cumple las siguientes propiedades:

• Las medidas de sus ángulos interiores son iguales.
• Las longitudes de sus lados son números racionales.

Pruebe que el pentágono es regular.