Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

febrero 22, 2008

Una maratón de resolución de problemas

Filed under: maratón — Matemática @ 7:28 pm

Para darle un poco más de actividad a la página, y aumentar la participación de ustedes, que es lo importante, es que hago esta maratón que consta de lo siguiente:

– Comienzo yo (el moderador 🙂 ) sugiriendo un problema ( fácil o intermedio, no muy difícil ) de respuesta numérica.

– Otra persona da su respuesta, y una solución (no es necesario que sea muy detallada).

– Cuando la persona que sugirió el problema o el moderador, comprueban que la respuesta está correcta, la persona que resolvió el problema sugiere otro problema, y el ciclo se repite nuevamente.

Algunas indicaciones más:

– Traten de subir problemas que a ustedes mismos les parezcan interesantes, no suban problemas difíciles, recuerden que después tendrán que comprobar la respuesta.

– Los problemas pueden ser de cualquier tema: aritmética, combinatoria, álgebra, geometría, etc y tiene que estar claros en su enunciado.

– Si los problemas son creados por ustedes, mucho mejor!!

Comienzo:

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  • Problema 1. Sea N el menor múltiplo de 15 tal que cada uno de sus dígitos es 8 ó 0. Determine el mayor factor primo de N.
(Sugerido por J. Tipe)
  • Problema 2. Encuentren todas las posibles soluciones enteras de n y m de la ecuación \sqrt{n} + \sqrt{n+60} = \sqrt{m} .
(Sugerido por Virgilio Failoc )
  • Problema 3. Determinar el número de ternas de enteros positivos a, b, c tales que:
\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{c+2}
(Sugerido por Mario Ynocente)
  • Problema 4. Hallar todos los números reales positivos a,b,c que cumplan
2(\frac{a^2}{(ab)^2+1}+\frac{b^2}{(bc)^2+1}+\frac{c^2}{(ac)^2+1}) = \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}
(Sugerido por Jesús Figueroa)
  • Problema 5: ABCDE es un pentágono tal que AE=ED, AB + CD=BC, y \angle BAE+\angle CDE = 180^\circ. Demostrar que \angle AED=2\angle BEC
(Sugerido por Mario Ynocente)
  • Problema 6: Demostrar que en todo grupo de 6 personas siempre existe un grupo de 3 personas que se conocen entre si o un grupo de tres personas que no se conocen entre si.
(Sugerido por Jesús Figueroa)
  • Problema 7: Hallar todas las funciones suryectivas f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tales que:

f(f(x-y))=f(x)-f(y)

(Sugerido por Mario Ynocente)
  • Problema 8: Sean m,n números enteros no negativos, determinar todos los enteros x que cumplan: m!+n!=2008-5x^2.
(Sugerido por Jesús Figueroa)
  • Problema 9: Supongamos que exista una solución real (x_0,y_0,z_0) para el sistema de ecuaciones:
x=f(y), y=f(z), z=f(x)
donde f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} es una función estrictamente creciente. Demostrar que: x_0=y_0=z_0
(Sugerido por Mario Ynocente)
  • Problema 10: Calcule todos los números racionales positivos x, y, z tales que
x + \frac{1}{y} , y + \frac{1}{z}, z + \frac{1}{x}

sean enteros.

(Sugerido por Jery Huamani)
  •  Problema 11: Un cuadrilátero convexo ABCD tal que AD=CD y \angle DAB= \angle ABC<90^ \circ. La recta por D y el punto medio de BC intersecta a la recta AB en E. Demostrar que $latex  \angle BEC= \angle DAC$.

(Sugerido por  )

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Participen!!!

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enero 27, 2008

Construyendo los naturales de una forma especial

Filed under: General,maratón — Matemática @ 4:44 pm

Este post es parecido a Que salga 100 !! , solo que espero que esta vez sea más dinámico, para eso pido la participación de todos ustedes. A decir verdad no trata de Olimpiadas, encajaría mejor en Matemática Recreativa. A ver se trata de lo siguiente:

Hay que reemplazar cada símbolo \circ por una de la operaciones +, - ,\times, \div y si es necesario, pueden colocar paréntesis ( ) donde les convenga (claro que siempre tienen que cuidar que la expresión guarde sentido):

\circ 1 \circ 2 \circ 3 \circ 4 \circ 5 \circ 6 \circ 7 \circ 8 \circ 9

El objetivo es conseguir de esta forma la mayor cantidad posible de números naturales, la dificultad consiste que hay que encontrarlos en orden, me explico, primero yo voy a comenzar consiguiendo el número 1, otra persona debe conseguir el número 2, luego otra persona (posiblemente uno de los que ya participó antes) consigue el 3, y así sucesivamente. [Lo que se conoce comúnmente como maratón]

Hago notar algo importante, el primer \circ, es decir, el que está antes del 1, solamente puede ser reemplazado por un + o por un -, en los demás casos no tendría sentido.

P.D. Si van a usar LaTeX pueden ver antes Cómo escribir fórmulas matemáticas en LaTeX, recuerden que el símbolo \times se consigue con \times y el \div se consigue con \div.

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