Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

octubre 28, 2009

¿Cómo resuelves esta ecuación?

Filed under: retos — Matemática @ 12:07 am

Consideremos la ecuación: 3^x+4^x=5^x.

¿Cuáles son sus raíces reales?

¿Puedes explicarnos cómo resolviste esa ecuación?

Espero sus comentarios.

17 comentarios »

  1. supongamos que 3 y 4 sean los lados de un triangulo rectangulo y 5 es la hipotenusa
    aplicando TEOREMA DE PITAGORAS x=2

    Comentario por jorge carrion — octubre 30, 2009 @ 7:55 pm | Responder

  2. Este problema se puede resolver por contradiccion. Lo primero es mostrar que x=2 es solucion, despues asumir que
    x>2 y obtener una contradiccion. Analogamente si asumimos x<2.

    Comentario por Max Diaz — octubre 31, 2009 @ 5:40 pm | Responder

  3. Estimados amigos, ¿me parece que la solución podría ser gráfica y contaría con x = 2 y x=0?

    Comentario por Luis Maraví — noviembre 2, 2009 @ 9:03 am | Responder

    • En x=0 daría: 1+1=1, pero es falso, x es diferente de cero.

      Comentario por John PC — noviembre 2, 2009 @ 2:33 pm | Responder

  4. Ya hay varias ideas, pero ninguna solución completa aún. ¿Cómo se pueden concretar esas ideas?

    Comentario por Jorge Tipe — noviembre 2, 2009 @ 5:26 pm | Responder

    • sabemos que el X debe ser positivo, ya que si X es negativo, se tendria que: 3^X > 5^X y si le sumamos 4^X a ambos mienbros se tendria:
      3^x + 4^X > 5^X (contradicciòn), demoslee el cambio de variable X=2Y, remplazando tendremoos….: 9^Y+16^Y=25^Y y esto a su vez queda como…: 9^Y+16^Y=(9+16)^Y,
      tendremos tres casos,

      para Y>1, la expresiòn (9+16)^Y=9^Y+16^Y+P(Y), dond P(Y) es una expresion numerica que depende de Y, y ademas P(Y)>0, entonces si reemplazamos en la ecuacion nos queda que P(Y)=0, lo cual contradice!, ahora en el caso que Y<1 tendremos que la expresion (9+16)^Y=9^X+16^Y-P(Y); donde P(Y)<0, y si reemplazamos nos queda que p(Y)=0, lo cual contradice, y el ultimo caso que nos queda es Y=1, que es la q cumple exactamente, entoncs si Y=1, entonces X=2, es la unica solucion!

      muchas gracias ….
      saludos desde Chiclayo – Perú

      pd: mil disculpas por el comentario que hice ayer con respecto a los alumnos de lambayeque, hoy me informaron que ya fueron mencionados para la 4 fase, mil disculpas

      Gracias

      Comentario por Emerson Soriano — noviembre 2, 2009 @ 8:04 pm | Responder

  5. en el segundo caso es: (9+16)^Y=9^Y+16^Y-P(Y)

    error de tipeo😀

    Comentario por Emerson Soriano — noviembre 2, 2009 @ 8:06 pm | Responder

  6. 3^x + 4^x =5^x
    entonces :
    (3/5)^x +(4/5)^x=1
    pero se sabe q la función exponencial a^x es estrictamente decreciente cuando a es menor que 1 , esto quiere decir que las funiones (3/5)^x y (4/5)^x son estrictamente decrecientes entonces también lo es la función
    (3/5)^x +(4/5)^x, en particular es inyectiva ,esto quiere decir que hay a lo más un valor de x tal que:
    (3/5)^x +(4/5)^x=1 , pero x=2 cumple por lo tanto el unico valor que cumple dicha ecuación es x=2

    Comentario por julian — noviembre 2, 2009 @ 9:42 pm | Responder

  7. Muy interesante el problema,coincido con la solución de julián .

    Comentario por Hugo Luyo — noviembre 3, 2009 @ 11:42 am | Responder

    • ¿como aseguramos que la función: (3/5)^x+(4/5)^x es inyectiva?
      es cierto que cada uno lo es por separado, pero ello no asegura que la suma lo sea

      Comentario por Julio César — diciembre 1, 2009 @ 12:12 am | Responder

      • Es cierto que la suma de dos funciones inyectivas no necesariamente es inyectiva. Pero las funciones estrictamente decrecientes son inyectivas, y la suma de dos funciones estrictamente decrecientes, sigue siendo estrictamente decreciente.

        Comentario por Jorge Tipe — diciembre 2, 2009 @ 12:40 am

      • Muy clara la respuesta Jorge… yo lo analizaba por inyectividad, no considere que amabas eran estrictamente decreciente.
        con ello queda demostrado también, para todas las ternas (5;12;13) y en general (a;b;c) tal que a^2+b^2=c^2, entonces no existe un valor para x distinto de 2 tal que: a^x+b^x=c^x… como que se parece a Fermat?

        Comentario por Julio César — diciembre 2, 2009 @ 11:20 pm

  8. Bueno segun mi parecer a X le podemos dar tres valores : x=2; x2(tricotomia)
    con x =2 la ecuacion si cumple..kon x2 siendo x igual a kualkier entero no se podria ya que violaria el ultimo teorema d fermat..y si fuese una expresion con exponente fraccionario tampoco se kumpliria ya que estariamos con numeros irracionales en distintas bases..por lo tanto unica solucion es x=2!!! saludos a trujillo😀

    Comentario por Vianorº — noviembre 4, 2009 @ 9:52 pm | Responder

    • x no necesariamente es entero, así que no se puede aplicar el (último) Teorema de Fermat!

      Comentario por Jorge Tipe — noviembre 11, 2009 @ 10:43 pm | Responder

  9. Si 3^x + 4^x = 5^x Entonces la ecuacion se puede transformar en x(mod3)+x(mod4)=x(mod5)
    se procede y queda x(mod7)=x(mod5) y se pasa al otro lado y queda x(mod7)-x(mmod5) y resulta X(mod2) entonces X=2

    Comentario por Alexis Chafloque — noviembre 11, 2009 @ 8:52 pm | Responder

    • El número x no necesariamente es un entero, asi que no se puede aplicar ningún resultado de Teoria de Números, incluyendo ecuaciones en congruencias como estás haciendo.

      Comentario por Jorge Tipe — noviembre 11, 2009 @ 10:42 pm | Responder

  10. compañero jorge tipe, m gustaria q revise mi respuesta es la 4 y la 5. …. graxias
    y muy buen trabajo en lo d la onem… felicitaciones

    Comentario por Emerson Soriano — diciembre 5, 2009 @ 1:11 pm | Responder


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