Enunciados, Semana 5

Los problemas de esta semana son todos Problemas 1 de la Olimpiada Matemática del Cono Sur (en la que participan Argentina, Brasil, Chile, Ecuador, Bolivia, Uruguay, Paraguay y Perú) :

[Pueden subir sus soluciones a partir del 4 de febrero] 

5.1) El entero positivo N tiene 1994 cifras. De estas, 14 son iguales a cero y los números de veces que aparecen las demás cifras: 1,2,3,4,5,6,7,8,9, están en la razón 1:2:3:4:5:6:7:8:9, respectivamente.
Demostrar que N no es un cuadrado perfecto.

5.2) A cada número entero positivo n, n \leq 99, le restamos la suma de los cuadrados de sus cifras. ¿Para qué valores de n esta diferencia es la mayor posible?

5.3) Hallar el menor entero positivo n tal que las 73 fracciones:

\displaystyle \frac{19}{n+21}, \frac{20}{n+22}, \frac{21}{n+23}, \cdots, \frac{91}{n+93}

sean todas irreductibles.

P.D 1. Resultó una coincidencia que los tres problemas tengan una variable n.

P.D 2. las soluciones de la Semana 4 la subiré en unos días, pues alguien me pidió un poco más de tiempo… y sigo esperando sus comentarios acerca de los Problemas Semanales.

Un problema de Sierpinski

Este problema lo vi en una de las notas del profesor Bellot que hace poco subí, se trata de un problema muy interesante de enunciado corto, propuesto por el matemático polaco Waclaw Sierpienski:
¿Es siempre posible convertir un entero en primo, modificando una sola de sus cifras?

(W.Sierpinski)

Sierpinski

el enunciado es claro, pero voy con unos ejemplos, digamos que escojo un número de dos cifras 45, puedo cambiar el 5 por un 3 y consigo el 43 que es primo, otro ejemplo el 231 (que no es primo) cambio el 2 por el 1 y obtengo el 131 que es primo.

Espero que comenten sobre este problema, quizás algunas ideas, o alguno sube su solución. Anímense!

Construyendo los naturales de una forma especial

Este post es parecido a Que salga 100 !! , solo que espero que esta vez sea más dinámico, para eso pido la participación de todos ustedes. A decir verdad no trata de Olimpiadas, encajaría mejor en Matemática Recreativa. A ver se trata de lo siguiente:

Hay que reemplazar cada símbolo \circ por una de la operaciones +, - ,\times, \div y si es necesario, pueden colocar paréntesis ( ) donde les convenga (claro que siempre tienen que cuidar que la expresión guarde sentido):

\circ 1 \circ 2 \circ 3 \circ 4 \circ 5 \circ 6 \circ 7 \circ 8 \circ 9

El objetivo es conseguir de esta forma la mayor cantidad posible de números naturales, la dificultad consiste que hay que encontrarlos en orden, me explico, primero yo voy a comenzar consiguiendo el número 1, otra persona debe conseguir el número 2, luego otra persona (posiblemente uno de los que ya participó antes) consigue el 3, y así sucesivamente. [Lo que se conoce comúnmente como maratón]

Hago notar algo importante, el primer \circ, es decir, el que está antes del 1, solamente puede ser reemplazado por un + o por un -, en los demás casos no tendría sentido.

P.D. Si van a usar LaTeX pueden ver antes Cómo escribir fórmulas matemáticas en LaTeX, recuerden que el símbolo \times se consigue con \times y el \div se consigue con \div.

Relevos

Soluciones, Semana 3

Ya pueden ver la soluciones aquí, o cómo siempre en la parte derecha de la página.

Por ahora he escrito las soluciones de los problemas 3.1 y 3.2, me falta la del 3.3, pero voy a seguir la solución del profesor Alex Aguirre, si quieren ir viendola.

Bueno, ya entramos a la cuarta semana de los problemas semanales, sería bueno hacer un pequeño balance, me gustaría saber qué piensan ahora de los problemas semanales, creen que se debería cambiar algo?, o qué no les parece?, también me gustaría que comenten acerca de los problemas, los ven fáciles o difíciles, o quizás muy difíciles. Pueden hacer sus comentarios en esta misma entrada.

Enunciados, Semana 4

Es hora de los enunciados de la Semana 4, por ahora no tengo mucho tiempo para subir las soluciones de la Semana 3, en cuanto tenga oportunidad lo hago. Pueden escribir sus soluciones a partir del 28 de enero.

4.1 Se tienen 19 pesas distintas de 1 g, 2 g, 3 g, …, 19 g. Nueve son de acero, nueve son de bronce y una es de oro. Se sabe que el peso total de las pesas de acero es 90 g superior al peso total de las pesas de bronce. Hallar el peso de la pesa de oro.

Pesas

4.2 Consideremos el número A= 1111111111-22222.

a) Demuestre que A es un cuadrado perfecto.

b) Determine el resto de dividir \sqrt{A} entre 9.

4.3 Sea \alpha la mayor raíz de la ecuación

x^2+x-1=0

Calcule el valor de \alpha ^{10}+55\alpha.

Lecciones olímpicas del profesor Francisco Bellot

Tuve la suerte de conocer al profesor Francisco Bellot en el 2006, durante la Olimpiada Iberoamericana en Guayaquil. estuvo a cargo del problema 1 (de geometría ) y pudimos conversar sobre varias cosas, me acuerdo de una muy particular, me dijo que recibe mensualmente revistas matemáticas de varias partes del mundo (rumania, hungria, EEUU, Canadá, etc) desde hace varias décadas (me parece que hace 40 años, y que su colección incluye todas las ediciones de la revista canadiense CRUX MATHEMATICORUM incluso cuando incialmente se llamaba Eureka, realmente que envidia!!

El profesor Bellot ha estado involucrado con el mundo olímpico desde hace mucho tiempo, durante muchos años estuvo a cargo de la Olimpiada Española, y actualmente es editor de la Revista de la Olimpiada Iberoamericana, que ya les comente en la sección de Enlaces y Materiales de entrenamiento.

En la siguiente foto, se le ve recibiendo el premio Erdös por parte de la WFNMC (World Federation of National Mathematics Competitions) , en el año 2000:

y como no podía faltar pongo a disposición de ustedes algunas Lecciones Olímpicas de él, en cuanto al nivel, considero que son más avanzadas que las notas teóricas que he subido anteriormente:

El método de Inducción

El método de Inducción (interactivo!)

Divisibilidad (interactivo!)

El Arte de Contar

Desigualdades

Problemas Cuadráticos de Olimpiadas

Ecuaciones Funcionales, ejemplos

Que los aprovechen!!