Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

octubre 28, 2009

¿Cómo resuelves esta ecuación?

Filed under: retos — Matemática @ 12:07 am

Consideremos la ecuación: 3^x+4^x=5^x.

¿Cuáles son sus raíces reales?

¿Puedes explicarnos cómo resolviste esa ecuación?

Espero sus comentarios.

febrero 20, 2008

Acerca de un problema de admisión UNI 2008-1

Filed under: retos — Matemática @ 7:33 pm

Uno de los problemas del examen de matemática de este último examen de admisión a la UNI dice lo siguiente:

Dados tres conjuntos A, B y C tales que ( A \cup B ) \subset ( A \cup C ) y ( A \cap B ) \subset ( A \cap C ) entonces

A) B \subset C

B) B=C

C) C \subset B

D) ( A \cup C ) \subset B

E) ( A \cup B ) \subset C

Me parece interesante el problema, un buen ejercicio de teoría de conjuntos. Me dió curiosidad de ver la solución dada por la academia César Vallejo, y la verdad, no me convence en nada, a ver que dicen ustedes… alguien quiere subir una solución correcta de este problema?

Vayan a este enlace, si quieren ver la “solución” que no me convenció, es el Problema 17:

http://aduni.com.pe/eventos/UNI2008I/links/pdf/2/sol_matematica.pdf

Que les vaya bien!

febrero 13, 2008

Cuadrilátero cíclico con algunos lados enteros

Filed under: retos — Matemática @ 2:37 pm

Este problema es de la Competencia Matemática Mediterránea 2007, por cierto, el fundador y gestor de esta competencia es Francisco Bellot, de quien ya les había hablado antes.

Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo cíclico ABCD se intersectan en el punto E. Dadas las longitudes AB = 39 , AE = 45, AD = 60 y BC = 56 , determine la longitud de CD.

Que les vaya bien !

PD. Los demás problemas de esta competencia los pueden ver aquí, ojo que están en inglés.

febrero 10, 2008

n y 2n como suma de dos cuadrados.

Filed under: retos — Matemática @ 5:01 pm

Este es un problema de una competencia húngara de 1938:

Decimos que un número natural es suma de dos cuadrados, si se puede expresar como la suma de dos cuadrados perfectos. Demuestre que N es suma de dos cuadrados si y solamente si 2N es suma de dos cuadrados.

Hungr�a

 

febrero 5, 2008

Algunos problemas con monedas verdaderas y falsas

Filed under: retos — Matemática @ 7:07 pm

Estos tipos de problemas suelen venir en algunas olimpiadas, son bonitos porque solo necesitan un poco de lógica para resolverlos, y ser ordenados en el razonamiento. Las balanzas de las que se hablan en estos problemas, son las balanzas de “pesas”, osea que solo comparan el peso del contenido de sus dos platillos, pero no indican el peso de cada uno, recuerden, “solo comparan”. Las balanzas son así :

balanza

Hay muchas variantes de problemas con monedas, cambiando algunos datos o condiciones se puede generar otros problemas, quien sabe, quizás más difíciles… por ejemplo, se podría poner la condición de que todas las monedas verdaderas pesan 25g y que todas las monedas falsas pesan 20g, o quizás en vez de las balanzas usuales tener una balanza electrónica que indique la diferencia de los pesos….

Bueno, por ahora les presento estos dos problemas (en ambos las balanzas son como la de la figura, solo comparan) , el primero es del Torneo de las Ciudades 2001, se pueden dar cuenta por el tradicional nombre ruso Kolya:

1) A Kolya le dijeron que 2 de sus 4 monedas son falsas. Él sabe que todas las monedas verdaderas tienen el mismo peso, que todas las monedas falsas tienen el mismo peso, y que el peso de una moneda verdadera es mayor que el de una moneda falsa. ¿Puede Kolya comprobar lo que le dijeron usando una balanza exactamente 2 veces?

2) Tenemos 3 monedas y sabemos con seguridad que una de ellas es falsa; pero no sabemos si la moneda falsa pesa menos o más que las monedas verdaderas (las monedas verdaderas pesan todas igual). ¿ Es posible determinar la moneda falsa usando dos veces la balanza, y que en el proceso se determine si la moneda falsa pesa menos o más que la moneda verdadera?

febrero 4, 2008

Una ecuación diofántica con 2008

Filed under: retos — Matemática @ 2:09 pm

A pedido de Mario Ynocente Castro les propongo el siguiente reto:

Demostrar que existen infinitas cuaternas (x,y,z,w) de enteros positivos tales que:

x^3+y^3+z^3=2008^w
Después les indico la fuente…

febrero 2, 2008

Polígono convexo con ángulos en P.A

Filed under: retos — Matemática @ 2:02 pm

Otro problemita de geometría, este es de la Olimpiada de Estonia, 2001:

Los ángulos de un polígono convexo de n lados son \alpha, 2\alpha, \ldots, n\alpha. Hallar los posibles valores de n.

La bandera de estonia

Que les vaya bien!

enero 28, 2008

Un problema de Sierpinski

Filed under: General,retos — Matemática @ 7:35 pm

Este problema lo vi en una de las notas del profesor Bellot que hace poco subí, se trata de un problema muy interesante de enunciado corto, propuesto por el matemático polaco Waclaw Sierpienski:
¿Es siempre posible convertir un entero en primo, modificando una sola de sus cifras?

(W.Sierpinski)

Sierpinski

el enunciado es claro, pero voy con unos ejemplos, digamos que escojo un número de dos cifras 45, puedo cambiar el 5 por un 3 y consigo el 43 que es primo, otro ejemplo el 231 (que no es primo) cambio el 2 por el 1 y obtengo el 131 que es primo.

Espero que comenten sobre este problema, quizás algunas ideas, o alguno sube su solución. Anímense!

enero 22, 2008

Que salga 100 !!

Filed under: retos — Matemática @ 6:24 pm

Reemplazar cada \circ por una de las 4 operaciones básicas ( +, -, \times, \div ) de tal forma que el resultado sea igual a 100. Ojo que no están permitidos los paréntesis u otros símbolos de colección :

1 \circ 2 \circ 3 \circ 4 \circ 5 \circ 6 \circ 7 \circ 8 \circ 9 =100.

Habrá varias soluciones?? (Yo ya tengo 2 🙂 )

enero 18, 2008

Tres números en P.A cuyo producto sea un cuadrado

Filed under: General,retos — Matemática @ 9:07 am

Otro problemita de Rusia, esta vez de 1989:

Hallar tres números naturales distintos que estén en progresión aritmética y que su producto sea un cuadrado perfecto.

Lo más probable es que encuentren soluciones distintas, quiero ver varias soluciones!! (claro que también sería bueno que escriban cómo llegaron a su solución)

enero 15, 2008

El primer problema de Geometría

Filed under: General,retos — Matemática @ 8:52 am

El título lo dice todo, a ver cómo les va con la geometría. Este problema es de la Olimpiada de Matemática de India, 1995.

Sea ABC un triángulo acutángulo con \angle A=30^{o}. Sea H el ortocentro del triángulo y M el punto medio de BC, además, el punto T se escoge de tal forma que M sea el punto medio de HT. Demostrar que AT=2\cdot BC.

ind19951.png

enero 11, 2008

Reparto Pirata

Filed under: General,retos — Matemática @ 6:31 pm

Este es un problema de la OMA (Olimpiada MAtemática Argentina) del 2004, a ver cómo les va con Morgan y sus piratas.

La ley pirata establece que para repartir las monedas de un tesoro el capitán debe elegir un grupo de piratas y repartir equitativamente las monedas entre los piratas elegidos hasta que no haya suficientes para darle una más a cada uno. Las monedas sobrantes son la parte del capitán. Morgan debe repartir un tesoro con menos de 1000 monedas de oro. El sabe que si elige 99 piratas se quedará con 51 monedas y si elige 77 piratas le corresponderán sólo 29 monedas.
Determinar cuántos piratas debe elegir Morgan para quedarse con la mayor cantidad de monedas respetando la ley pirata, y para esa cantidad de piratas, cuántas monedas le corresponden a Morgan.

ACLARACIÓN: Los piratas elegidos deben recibir por lo menos una moneda cada uno.

Morgan

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