Enunciados, Semana 7

Como veo que no le hicieron mucho caso a los retos anteriores, no voy a desaprovecharlos. Por otro lado, espero ver más soluciones para esta semana, han estado disminuyendo el número de soluciones enviadas, no se porque motivo, pero definitivamente hay menos personas participando de los que vi en la Convocatoria que hice al inicio, en ese entonces había mucha gente animada… qué pasó ?

Recuerden que no es necesario que resuelvan los tres problemas a la vez. Pueden subir sus soluciones a partir del 20 de febrero. 

Decimos que un número natural es suma de dos cuadrados, si se puede expresar como la suma de dos cuadrados perfectos ( los cuadrados perfectos son 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \ldots ).

En los siguientes problemas quizás les es conveniente usar la identidad de Lagrange:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

7.1) a) Demuestre que el número 57744 es suma de dos cuadrados.

b) Se tiene k números naturales consecutivos, donde cada uno de ellos es suma de dos cuadrados. Halle el mayor valor posible de k.

7.2) a) Demuestre que N es suma de dos cuadrados si y solamente si 2N es suma de dos cuadrados.

b) ¿ El número 2008 es suma de dos cuadrados ?

7.3) Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo cíclico ABCD se intersectan en el punto E. Dadas las longitudes AB = 39 , AE = 45, AD = 60 y BC = 56 , determine la longitud de CD.

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Enunciados, Semana 5

Los problemas de esta semana son todos Problemas 1 de la Olimpiada Matemática del Cono Sur (en la que participan Argentina, Brasil, Chile, Ecuador, Bolivia, Uruguay, Paraguay y Perú) :

[Pueden subir sus soluciones a partir del 4 de febrero] 

5.1) El entero positivo N tiene 1994 cifras. De estas, 14 son iguales a cero y los números de veces que aparecen las demás cifras: 1,2,3,4,5,6,7,8,9, están en la razón 1:2:3:4:5:6:7:8:9, respectivamente.
Demostrar que N no es un cuadrado perfecto.

5.2) A cada número entero positivo n, n \leq 99, le restamos la suma de los cuadrados de sus cifras. ¿Para qué valores de n esta diferencia es la mayor posible?

5.3) Hallar el menor entero positivo n tal que las 73 fracciones:

\displaystyle \frac{19}{n+21}, \frac{20}{n+22}, \frac{21}{n+23}, \cdots, \frac{91}{n+93}

sean todas irreductibles.

P.D 1. Resultó una coincidencia que los tres problemas tengan una variable n.

P.D 2. las soluciones de la Semana 4 la subiré en unos días, pues alguien me pidió un poco más de tiempo… y sigo esperando sus comentarios acerca de los Problemas Semanales.

Enunciados, Semana 4

Es hora de los enunciados de la Semana 4, por ahora no tengo mucho tiempo para subir las soluciones de la Semana 3, en cuanto tenga oportunidad lo hago. Pueden escribir sus soluciones a partir del 28 de enero.

4.1 Se tienen 19 pesas distintas de 1 g, 2 g, 3 g, …, 19 g. Nueve son de acero, nueve son de bronce y una es de oro. Se sabe que el peso total de las pesas de acero es 90 g superior al peso total de las pesas de bronce. Hallar el peso de la pesa de oro.

Pesas

4.2 Consideremos el número A= 1111111111-22222.

a) Demuestre que A es un cuadrado perfecto.

b) Determine el resto de dividir \sqrt{A} entre 9.

4.3 Sea \alpha la mayor raíz de la ecuación

x^2+x-1=0

Calcule el valor de \alpha ^{10}+55\alpha.

Enunciados, Semana 3

Pueden hacer en cualquier momento consultas acerca de los enunciados, pueden escribir sus soluciones a partir del 19 de enero.

3.1 El número natural n tiene exactamente dos divisores positivos, y el número n+1 tiene exactamente tres divisores positivos. ¿ Cuántos divisores positivos tiene n+2 ?

3.2 Definamos la sucesión (a_n), n\geq 0 de la siguiente forma:

a_0=0

a_{k+1}=3a_k+1, k\geq 0.

¿ Cuál es el resto de dividir el número a_{155} entre 33 ?

3.3 ¿ Cuántas fracciones irreductibles de la forma \displaystyle \frac{a}{b} cumplen las siguientes dos condiciones:

  • 0< \frac{a}{b}<1.
  • a\cdot b=20! . ?

Aclaración: El número 20! denota el producto de los 20 menores números naturales, es decir, 20!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots19\cdot20.

    Enunciados, Semana 2

    Disculpen si no les pude contestar a sus comentarios estos dos últimos días, me encuentro ahora en el IMPA, en Brasil, así que desde ahora seguiré con el blog pero desde otra ciudad, espero que sigan con el mismo entusiasmo que he notado en las siguientes ediciones de los problemas semanales.

    He recibido algunos problemas para ser incluidos en los problemas semanales, pero me he dado cuenta que me falto poner algo en el reglamento, que me envien no solo el enunciado si no también la solucón, pueden ver la modificaciõn que hice en Reglamento, Problemas Semanales más abajo, ahi también pongo los motivos de la modificación.

    Ahora, los enunciados, pero se darán cuenta que en el fondo se trata de un solo problema, más general.

    La función f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} es estrictamente creciente (es decir, f(1)<f(2)<f(3)<\cdots<f(n)<\cdots ), además, para todo número natural n se cumple que f(f(n)= 3n.

    2.1 Calcule los valores de f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6) y f(7).

    2.2 Para cada número natural k, calcule el valor de f(3^k). Además, demuestre que todas las potencias de 3 pertenecen a la imagen de la función f.

    2.3 Calcule el valor de f(20)+f(100).

    Aclaración: Decimos que el número natural m pertenece a la imagen de la función f, si podemos encontrar un número natural n tal que f(n)=m.

    Soluciones, Semana 1

    Las soluciones no serán visibles directamente, para que los nuevos visitantes no vean las soluciones antes de intentar los problemas.

    Por ahora, subó las soluciones del 1.1 y 1.3, quiero darle un poco más de tiempo a la solución del 1.2, no he visto una solución convincente aún, pero se nota que lo están intentando.

    Pueden ver la soluciones en el siguiente enlace: Soluciones, Semana 1.

    Actualización 1: He comenzado a escribir la solución del 1.2… pero…vean en el enlace lo que hay ahora… ¿alguien se anima?

    Actualización 2: Ya complete la solución del 1.2, así que ya están completas las soluciones de la Semana 1.

    elefante en origami

    Enunciados, Semana 1

    Si aún no han leído las reglas, léanlas más abajo, en el post anterior.

    Comienzo de esta forma con la primera entrega de los Problemas Semanales, espero que les gusten y se diviertan resolviéndolos. No se olviden que los primeros cuatro días, a partir de la hora de publicación de este post, solo pueden hacer consultas sobre los enunciados de los problemas. !Qué les vaya bien con los problemas!

    P.D. Seguiré la siguiente numeración de los problemas: M.N indica el problema del nivel N de la Semana M.

    1.1 Consideremos la siguiente expresión: 
                               | 1#2#3#4#…#2006#2007 | 
     tenemos que reemplazar cada símbolo #  por un + o por un – . ¿Cuál es el menor número que se puede conseguir luego de hacer estos reemplazos?

    Aclaración: Las barras ” | | ” indican valor absoluto.

    1.2 Quince elefantes están en una fila. Sus pesos están expresados por un número entero de kilogramos. La suma del peso de cada elefante (a excepción del que está más adelante) con el doble del peso del elefante que está delante de él es exactamente 15 toneladas. Determine el peso de cada elefante.

    1.3 Halle el mayor número d, que divide a  todos los números de la forma n(n+1)(2n+1996), donde n es un número natural.

    para que se hagan una idea del 1.2 :)