Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

febrero 16, 2008

Enunciados, Semana 7

Filed under: problemas semanales — Matemática @ 3:48 pm

Como veo que no le hicieron mucho caso a los retos anteriores, no voy a desaprovecharlos. Por otro lado, espero ver más soluciones para esta semana, han estado disminuyendo el número de soluciones enviadas, no se porque motivo, pero definitivamente hay menos personas participando de los que vi en la Convocatoria que hice al inicio, en ese entonces había mucha gente animada… qué pasó ?

Recuerden que no es necesario que resuelvan los tres problemas a la vez. Pueden subir sus soluciones a partir del 20 de febrero. 

Decimos que un número natural es suma de dos cuadrados, si se puede expresar como la suma de dos cuadrados perfectos ( los cuadrados perfectos son 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \ldots ).

En los siguientes problemas quizás les es conveniente usar la identidad de Lagrange:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

7.1) a) Demuestre que el número 57744 es suma de dos cuadrados.

b) Se tiene k números naturales consecutivos, donde cada uno de ellos es suma de dos cuadrados. Halle el mayor valor posible de k.

7.2) a) Demuestre que N es suma de dos cuadrados si y solamente si 2N es suma de dos cuadrados.

b) ¿ El número 2008 es suma de dos cuadrados ?

7.3) Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo cíclico ABCD se intersectan en el punto E. Dadas las longitudes AB = 39 , AE = 45, AD = 60 y BC = 56 , determine la longitud de CD.

enero 31, 2008

Enunciados, Semana 5

Filed under: problemas semanales — Matemática @ 9:33 am

Los problemas de esta semana son todos Problemas 1 de la Olimpiada Matemática del Cono Sur (en la que participan Argentina, Brasil, Chile, Ecuador, Bolivia, Uruguay, Paraguay y Perú) :

[Pueden subir sus soluciones a partir del 4 de febrero] 

5.1) El entero positivo N tiene 1994 cifras. De estas, 14 son iguales a cero y los números de veces que aparecen las demás cifras: 1,2,3,4,5,6,7,8,9, están en la razón 1:2:3:4:5:6:7:8:9, respectivamente.
Demostrar que N no es un cuadrado perfecto.

5.2) A cada número entero positivo n, n \leq 99, le restamos la suma de los cuadrados de sus cifras. ¿Para qué valores de n esta diferencia es la mayor posible?

5.3) Hallar el menor entero positivo n tal que las 73 fracciones:

\displaystyle \frac{19}{n+21}, \frac{20}{n+22}, \frac{21}{n+23}, \cdots, \frac{91}{n+93}

sean todas irreductibles.

P.D 1. Resultó una coincidencia que los tres problemas tengan una variable n.

P.D 2. las soluciones de la Semana 4 la subiré en unos días, pues alguien me pidió un poco más de tiempo… y sigo esperando sus comentarios acerca de los Problemas Semanales.

enero 24, 2008

Enunciados, Semana 4

Filed under: problemas semanales — Matemática @ 10:14 am

Es hora de los enunciados de la Semana 4, por ahora no tengo mucho tiempo para subir las soluciones de la Semana 3, en cuanto tenga oportunidad lo hago. Pueden escribir sus soluciones a partir del 28 de enero.

4.1 Se tienen 19 pesas distintas de 1 g, 2 g, 3 g, …, 19 g. Nueve son de acero, nueve son de bronce y una es de oro. Se sabe que el peso total de las pesas de acero es 90 g superior al peso total de las pesas de bronce. Hallar el peso de la pesa de oro.

Pesas

4.2 Consideremos el número A= 1111111111-22222.

a) Demuestre que A es un cuadrado perfecto.

b) Determine el resto de dividir \sqrt{A} entre 9.

4.3 Sea \alpha la mayor raíz de la ecuación

x^2+x-1=0

Calcule el valor de \alpha ^{10}+55\alpha.

enero 15, 2008

Enunciados, Semana 3

Filed under: General,problemas semanales — Matemática @ 3:09 pm

Pueden hacer en cualquier momento consultas acerca de los enunciados, pueden escribir sus soluciones a partir del 19 de enero.

3.1 El número natural n tiene exactamente dos divisores positivos, y el número n+1 tiene exactamente tres divisores positivos. ¿ Cuántos divisores positivos tiene n+2 ?

3.2 Definamos la sucesión (a_n), n\geq 0 de la siguiente forma:

a_0=0

a_{k+1}=3a_k+1, k\geq 0.

¿ Cuál es el resto de dividir el número a_{155} entre 33 ?

3.3 ¿ Cuántas fracciones irreductibles de la forma \displaystyle \frac{a}{b} cumplen las siguientes dos condiciones:

  • 0< \frac{a}{b}<1.
  • a\cdot b=20! . ?

Aclaración: El número 20! denota el producto de los 20 menores números naturales, es decir, 20!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots19\cdot20.

    enero 6, 2008

    Enunciados, Semana 2

    Filed under: problemas semanales — Matemática @ 3:34 pm

    Disculpen si no les pude contestar a sus comentarios estos dos últimos días, me encuentro ahora en el IMPA, en Brasil, así que desde ahora seguiré con el blog pero desde otra ciudad, espero que sigan con el mismo entusiasmo que he notado en las siguientes ediciones de los problemas semanales.

    He recibido algunos problemas para ser incluidos en los problemas semanales, pero me he dado cuenta que me falto poner algo en el reglamento, que me envien no solo el enunciado si no también la solucón, pueden ver la modificaciõn que hice en Reglamento, Problemas Semanales más abajo, ahi también pongo los motivos de la modificación.

    Ahora, los enunciados, pero se darán cuenta que en el fondo se trata de un solo problema, más general.

    La función f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} es estrictamente creciente (es decir, f(1)<f(2)<f(3)<\cdots<f(n)<\cdots ), además, para todo número natural n se cumple que f(f(n)= 3n.

    2.1 Calcule los valores de f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6) y f(7).

    2.2 Para cada número natural k, calcule el valor de f(3^k). Además, demuestre que todas las potencias de 3 pertenecen a la imagen de la función f.

    2.3 Calcule el valor de f(20)+f(100).

    Aclaración: Decimos que el número natural m pertenece a la imagen de la función f, si podemos encontrar un número natural n tal que f(n)=m.

    enero 3, 2008

    Soluciones, Semana 1

    Filed under: problemas semanales,soluciones — Matemática @ 1:15 am

    Las soluciones no serán visibles directamente, para que los nuevos visitantes no vean las soluciones antes de intentar los problemas.

    Por ahora, subó las soluciones del 1.1 y 1.3, quiero darle un poco más de tiempo a la solución del 1.2, no he visto una solución convincente aún, pero se nota que lo están intentando.

    Pueden ver la soluciones en el siguiente enlace: Soluciones, Semana 1.

    Actualización 1: He comenzado a escribir la solución del 1.2… pero…vean en el enlace lo que hay ahora… ¿alguien se anima?

    Actualización 2: Ya complete la solución del 1.2, así que ya están completas las soluciones de la Semana 1.

    elefante en origami

    diciembre 26, 2007

    Enunciados, Semana 1

    Filed under: problemas semanales — Matemática @ 9:43 pm

    Si aún no han leído las reglas, léanlas más abajo, en el post anterior.

    Comienzo de esta forma con la primera entrega de los Problemas Semanales, espero que les gusten y se diviertan resolviéndolos. No se olviden que los primeros cuatro días, a partir de la hora de publicación de este post, solo pueden hacer consultas sobre los enunciados de los problemas. !Qué les vaya bien con los problemas!

    P.D. Seguiré la siguiente numeración de los problemas: M.N indica el problema del nivel N de la Semana M.

    1.1 Consideremos la siguiente expresión: 
                               | 1#2#3#4#…#2006#2007 | 
     tenemos que reemplazar cada símbolo #  por un + o por un – . ¿Cuál es el menor número que se puede conseguir luego de hacer estos reemplazos?

    Aclaración: Las barras ” | | ” indican valor absoluto.

    1.2 Quince elefantes están en una fila. Sus pesos están expresados por un número entero de kilogramos. La suma del peso de cada elefante (a excepción del que está más adelante) con el doble del peso del elefante que está delante de él es exactamente 15 toneladas. Determine el peso de cada elefante.

    1.3 Halle el mayor número d, que divide a  todos los números de la forma n(n+1)(2n+1996), donde n es un número natural.

    para que se hagan una idea del 1.2 :)

    diciembre 25, 2007

    Reglamento: Problemas Semanales

    Filed under: problemas semanales — Matemática @ 10:42 pm

    A continuación algunas reglas para mantener el orden en este nuevo proyecto. ¡Ya falta poco para subir los primeros problemas!, lean las reglas por favor.

    [Hice una modificación importante en el 9, después de haber recibido algunas propuestas de problemas]  

    1) El objetivo de los Problemas Semanales es incentivar la resolución de problemas matemáticos ( no tradicionales ) a nivel escolar, específicamente en nivel secundario, y está dirigido tanto a alumnos como a profesores de todo el Perú.

    2) El objetivo secundario es que estos problemas sirvan de entrenamiento a los alumnos que se presentarán en la siguiente Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM).

    3) Seguiré la división de los alumnos en niveles de la ONEM, es decir:

    Nivel 1: Primero y segundo de secundaria.

    Nivel 2: Segundo y tercero de secundaria.

    Nivel 3: Quinto de secundaria.

    siguiendo esto, subiré tres problemas semanales, uno por cada nivel.

    4) La participación es totalmente abierta, es decir, cualquier persona puede resolver cualquier problema de cualquier nivel. Naturalmente, es recomendable que un alumno se concentre en los problemas correspondientes a su nivel y que los profesores trabajen con los problemas de los tres niveles.

    5) (Ésta si es importante) En los cuatro siguientes días a la publicación del grupo de tres problemas, pueden hacer consultas (por medio de comentarios) únicamente acerca de los enunciados de los problemas, osea si no entienden que pide el problema, o no conocen alguna definición que uso en el enunciado. Está prohibido comentar acerca de la solución de los problemas en el transcurso de los primeros cuatro días.

    6) Pasados los cuatro días ya pueden hacer consultas de otro tipo, puede ser para pedir una sugerencia a mi o a uno de ustedes, o quizás preguntar si tal o cual idea funcionará en la solución del problema. En este período de tres días es recomendable que alguno de ustedes escriba su solución, incluso si no está completa.

    7) Pasados los tres días subiré las soluciones y las referencias de los problemas (si es que las hay).

    8 ) La dificultad de los problemas será variable y estarán sujetas a mi criterio. Por ejemplo, puede ser que en la semana X el problema del nivel 1 sea fácil y el del nivel 2 difícil, y que en la semana X+1 el problema del nivel 1 sea muy difícil y el del nivel 2 intermedio.

    9) Acepto que me sugieran problemas, de preferencia si saben su origen (por ejemplo, problema del país X del año Y) y sería mucho mejor si me sugieren problemas que han sido creados por ustedes mismos. Me tienen que hacer llegar los problemas a mi correo jorgetipe(arroba)gmail.com y no mediante un comentario. [modificación] Cuando me envien problemas, deben estar con su solución completa por tres motivos: para saber que estan bien propuestos, ver que son elementales (es decir, que pueden ser resueltos por un estudiante de secundaria) y de paso, me dan una ayuda cuando necesite publicar las soluciones.

    10) Por último, es importante recalcar que los Problemas Semanales es un proyecto personal con el fin de incentivar la matemática, no es una obligación, ni mucho menos me pagan por hacerlo. Así que están sujetos a mi disponiblidad, les aviso que puede ser que alguna semana no suba los problemas o me demore en subirlos, esto podría suceder, por ejemplo, si viajo o si estoy en época de exámenes. Pero tienen, por parte mía, el compromiso de que voy hacer todo lo posible para que esto funcione, por su parte espero también ese compromiso.

    Atentamente,

    Jorge Tipe

    P.D. ¡ FELIZ NAVIDAD !

    diciembre 19, 2007

    Convocatoria: Problemas Semanales

    Filed under: General,problemas semanales — Matemática @ 9:09 pm

    Hace unas semanas, comente sobre la posibilidad de subir problemas semanales (por niveles) que sirvan de entrenamiento para la ONEM, la idea es que esto sirva tanto a profesores y alumnos en su preparación. Pero antes de lanzarme con eso quiero asegurar algo importante: que va  haber gente interesada en esto de los problemas semanales, gente que va a participar activamente. Por eso, si eres profesor o alumno, o cualquier persona que le gustaría resolver problemas interesantes cada semana, deja un comentario en este post para saber que cuento contigo, cuando haya un número considerable de participantes (digamos que unos 15 para empezar)  comienzo a subir los problemas, la idea que tengo es que esta cantidad vaya aumentando cuando los demás vean que hay gente participando.

    Cuando estén los 15 (al menos) subiré las reglas de los Problemas Semanales.

    Espero sus comentarios, confirmando su participación.

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