Las pruebas de la ONEM 2007 ya están completas!

Gracias al profesor Montalvo, que me mando las pruebas que faltaban, ahora sí ya están completas. Pueden verlas en la parte derecha, en ONEM 2007.

Una maratón de resolución de problemas

Para darle un poco más de actividad a la página, y aumentar la participación de ustedes, que es lo importante, es que hago esta maratón que consta de lo siguiente:

– Comienzo yo (el moderador 🙂 ) sugiriendo un problema ( fácil o intermedio, no muy difícil ) de respuesta numérica.

– Otra persona da su respuesta, y una solución (no es necesario que sea muy detallada).

– Cuando la persona que sugirió el problema o el moderador, comprueban que la respuesta está correcta, la persona que resolvió el problema sugiere otro problema, y el ciclo se repite nuevamente.

Algunas indicaciones más:

– Traten de subir problemas que a ustedes mismos les parezcan interesantes, no suban problemas difíciles, recuerden que después tendrán que comprobar la respuesta.

– Los problemas pueden ser de cualquier tema: aritmética, combinatoria, álgebra, geometría, etc y tiene que estar claros en su enunciado.

– Si los problemas son creados por ustedes, mucho mejor!!

Comienzo:

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  • Problema 1. Sea N el menor múltiplo de 15 tal que cada uno de sus dígitos es 8 ó 0. Determine el mayor factor primo de N.
(Sugerido por J. Tipe)
  • Problema 2. Encuentren todas las posibles soluciones enteras de n y m de la ecuación \sqrt{n} + \sqrt{n+60} = \sqrt{m} .
(Sugerido por Virgilio Failoc )
  • Problema 3. Determinar el número de ternas de enteros positivos a, b, c tales que:
\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{c+2}
(Sugerido por Mario Ynocente)
  • Problema 4. Hallar todos los números reales positivos a,b,c que cumplan
2(\frac{a^2}{(ab)^2+1}+\frac{b^2}{(bc)^2+1}+\frac{c^2}{(ac)^2+1}) = \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}
(Sugerido por Jesús Figueroa)
  • Problema 5: ABCDE es un pentágono tal que AE=ED, AB + CD=BC, y \angle BAE+\angle CDE = 180^\circ. Demostrar que \angle AED=2\angle BEC
(Sugerido por Mario Ynocente)
  • Problema 6: Demostrar que en todo grupo de 6 personas siempre existe un grupo de 3 personas que se conocen entre si o un grupo de tres personas que no se conocen entre si.
(Sugerido por Jesús Figueroa)
  • Problema 7: Hallar todas las funciones suryectivas f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tales que:

f(f(x-y))=f(x)-f(y)

(Sugerido por Mario Ynocente)
  • Problema 8: Sean m,n números enteros no negativos, determinar todos los enteros x que cumplan: m!+n!=2008-5x^2.
(Sugerido por Jesús Figueroa)
  • Problema 9: Supongamos que exista una solución real (x_0,y_0,z_0) para el sistema de ecuaciones:
x=f(y), y=f(z), z=f(x)
donde f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} es una función estrictamente creciente. Demostrar que: x_0=y_0=z_0
(Sugerido por Mario Ynocente)
  • Problema 10: Calcule todos los números racionales positivos x, y, z tales que
x + \frac{1}{y} , y + \frac{1}{z}, z + \frac{1}{x}

sean enteros.

(Sugerido por Jery Huamani)
  •  Problema 11: Un cuadrilátero convexo ABCD tal que AD=CD y \angle DAB= \angle ABC<90^ \circ. La recta por D y el punto medio de BC intersecta a la recta AB en E. Demostrar que $latex  \angle BEC= \angle DAC$.

(Sugerido por  )

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Participen!!!

Acerca de un problema de admisión UNI 2008-1

Uno de los problemas del examen de matemática de este último examen de admisión a la UNI dice lo siguiente:

Dados tres conjuntos A, B y C tales que ( A \cup B ) \subset ( A \cup C ) y ( A \cap B ) \subset ( A \cap C ) entonces

A) B \subset C

B) B=C

C) C \subset B

D) ( A \cup C ) \subset B

E) ( A \cup B ) \subset C

Me parece interesante el problema, un buen ejercicio de teoría de conjuntos. Me dió curiosidad de ver la solución dada por la academia César Vallejo, y la verdad, no me convence en nada, a ver que dicen ustedes… alguien quiere subir una solución correcta de este problema?

Vayan a este enlace, si quieren ver la “solución” que no me convenció, es el Problema 17:

http://aduni.com.pe/eventos/UNI2008I/links/pdf/2/sol_matematica.pdf

Que les vaya bien!

La página de Francisco Javier García Capitán

Esta excelente página, hecha por el profesor Francisco Javier García Capitán tiene muchas cosas interesantes y que les va ser de utilidad a todos ustedes. La mayor parte del contenido de la página se centra en geometría, pero hay una sección de Resolución de Problemas que tiene problemas variados y sencillos para practicar, por ejemplo, para las primera fases de la ONEM.

Podría decir también que la profundidad con las que se tocan los temas es variada, desde cosas sencillas hasta más avanzadas, como la demostración de Erdos al Postulado de Bertrand.

Les recomiendo fuertemente las secciones de Escritos, Resolución de Problemas y Bella Geometría. Como verán hay mucho material en esa página, para ayudarlos a abordar ese material voy a hacer una clasificación personal de los materiales que encontrarán en Escritos y Resolución de Problemas para que sepan masomenos por donde comenzar ( Los niveles iniciante, intermedio y avanzado se refieren a la dificultad y profundidad con que son tratados los temas, no confundir con los Niveles 1, 2 y 3 que solamente corresponden a grados de escolaridad ):

Nivel Iniciante

  • Teoría de Números Elemental.
  • Un pequeño manual de resolución de Problemas.
  • El gran desafío (usen estos problemas como entrenamientos para las primeras fases de la ONEM !)

Nivel Intermedio

  • El Teorema de Pitágoras
  • El Teorema de Ptolomeo.
  • Fórmulas de Cuadriláteros
  • Una propiedad curiosa del heptágono regular. (para comprenderla necesitan conocer el Teorema de Ptolomeo)
  • El Teorema de Morley.
  • Desigualdades

Nivel Avanzado

  • La inversión, una herramienta para resolver problemas
  • Porismo de Steiner (necesitan el tema de inversión para entenderlo mejor)
  • Problemas Sangaku (algunos problemas son de nivel intermedio, pero hay algunos muy difíciles)
  • Coordenadas Baricéntricas
  • El Postulado de Bertrand

El enlace: La página de Francisco Javier García Capitán

pacoga

Enunciados, Semana 7

Como veo que no le hicieron mucho caso a los retos anteriores, no voy a desaprovecharlos. Por otro lado, espero ver más soluciones para esta semana, han estado disminuyendo el número de soluciones enviadas, no se porque motivo, pero definitivamente hay menos personas participando de los que vi en la Convocatoria que hice al inicio, en ese entonces había mucha gente animada… qué pasó ?

Recuerden que no es necesario que resuelvan los tres problemas a la vez. Pueden subir sus soluciones a partir del 20 de febrero. 

Decimos que un número natural es suma de dos cuadrados, si se puede expresar como la suma de dos cuadrados perfectos ( los cuadrados perfectos son 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \ldots ).

En los siguientes problemas quizás les es conveniente usar la identidad de Lagrange:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

7.1) a) Demuestre que el número 57744 es suma de dos cuadrados.

b) Se tiene k números naturales consecutivos, donde cada uno de ellos es suma de dos cuadrados. Halle el mayor valor posible de k.

7.2) a) Demuestre que N es suma de dos cuadrados si y solamente si 2N es suma de dos cuadrados.

b) ¿ El número 2008 es suma de dos cuadrados ?

7.3) Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo cíclico ABCD se intersectan en el punto E. Dadas las longitudes AB = 39 , AE = 45, AD = 60 y BC = 56 , determine la longitud de CD.

Cuadrilátero cíclico con algunos lados enteros

Este problema es de la Competencia Matemática Mediterránea 2007, por cierto, el fundador y gestor de esta competencia es Francisco Bellot, de quien ya les había hablado antes.

Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo cíclico ABCD se intersectan en el punto E. Dadas las longitudes AB = 39 , AE = 45, AD = 60 y BC = 56 , determine la longitud de CD.

Que les vaya bien !

PD. Los demás problemas de esta competencia los pueden ver aquí, ojo que están en inglés.