Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

noviembre 2, 2008

Tres problemas, uno por nivel.

Filed under: General — Matemática @ 3:30 pm

Para los que esten interesados les dejo tres problemas para que practiquen para la Cuarta Fase, escriban sus dudas, soluciones, comentarios, etc.

Para Nivel 1.

¿Es posible escribir los números 1, 2, 3, \ldots, 121 en un tablero de 11 \times 11 de modo que dos números consecutivos cualesquiera estén escritos en casillas vecinas, y además todos los cuadrados perfectos estén en la misma columna ?

Aclaración: Dos casillas son vecinas si comparten un lado.

Para Nivel 2.

Un repunit es un número cuya representación decimal consiste solamente de unos, es decir, un número de la forma 11\ldots 11.

Pruebe que existen infinitos polinomios P(x)=ax^2+bx+c, de coeficientes enteros positivos, que tienen la siguiente propiedad: ” Si r es un repunit entonces P(r) también es un repunit”.

Para Nivel 3.

Un pentágono cumple las siguientes propiedades:

  • Las medidas de sus ángulos interiores son iguales.
  • Las longitudes de sus lados son números racionales.

Pruebe que el pentágono es regular.

10 comentarios »

  1. Yo pienso

    en el ejercicio 2
    ke son infinitos
    ya ke hay infinitos numeros repunit
    pero nose como demostrarlo

    me ayudan??

    de: juankarloz

    Comentario por JoTaCe — noviembre 3, 2008 @ 10:34 am | Responder

  2. Habrá infiniaz formas de obtener un repunit
    a partir de otro repunit

    Comentario por JuanCarlos Medina Ticona — noviembre 4, 2008 @ 12:10 pm | Responder

  3. Ejercicio 2:
    a>b>c

    P(x)=90x^2+20x+1
    P(x)=900x^2+200x+11
    P(x)=9000x^2+2000x+111
    P(x)=90000x^2+20000x+1111

    Y así sucesivamente.

    Comentario por John PC — noviembre 4, 2008 @ 2:14 pm | Responder

  4. como puedo demostrar eso??

    Comentario por JuanCarlos Medina Ticona — noviembre 4, 2008 @ 2:28 pm | Responder

  5. Hola.
    John PC, los a,b,c estan fijos.
    Juan Carlos, umm si tenemos N=11..11, ahora sea M la concatenacion de N un numero k de veces, osea M=NN..N . Si k=2, entonces M=NN, o sea si N=11, M=1111, no confundir la concatenacion con el producto.
    Los problemas se ven bonitos.

    Suerte!

    Comentario por Kira! — noviembre 5, 2008 @ 12:27 am | Responder

  6. Gracias x ese dato kira
    eh visto un anime chevere donde al protagonista
    le dicen kira

    es death note
    zupongo ke tu tambn lo habras visto
    o deverdad te llamas asi?

    seria un nombre poco comun
    pero divertido

    no habia escuchado eltermino concatenacion
    pero parece interesante

    zaludoz!

    Comentario por Juan Carlos — noviembre 5, 2008 @ 9:46 am | Responder

  7. Si lo que dice John PC es cierto, habría que demostrar que cada uno de esos polinomios cumple la propiedad requerida, es decir, si r es un repunit entonces P(r) también, para demostra esto, es de gran ayuda expresar un repunit en función de una potencia de 10.

    Comentario por Jorge Tipe — noviembre 5, 2008 @ 10:45 am | Responder

  8. Hola.
    cometi un error, lo q dice john PC esta completamente bien.
    suerte!

    Comentario por Kira! — noviembre 5, 2008 @ 1:12 pm | Responder

  9. Un repunit se define como:
    R_n={10^n-1\over9}\qquad\mbox{para }n\ge1.

    Comentario por John PC — noviembre 5, 2008 @ 2:26 pm | Responder

  10. HOLA JORGE TIPE, SEPÁRAME UN LIBRO DE LA ONEM 2006, QUE TE ESTARÁ COMPRANDO UN ALUMNO DE AYACUCHO QUE CLASIFICÓ A LA FINAL NIVEL – I ( EDWARD DARÍO COMÚN SANDOVAL), PORFA LO MANDAS CON DEDICATORIA AL CÍRCULO “ELITMA” DE AYACUCHO, PARA SAUL, RUBEN Y CARLÍN.
    SALUDOS FRATERNOS DEL CÍRCULO ELITMA.

    Comentario por SAUL CLARES — noviembre 7, 2008 @ 7:22 am | Responder


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