Hace unos días recibí un correo del alumno Gabriel Fabricio Mejia Medina, de Arequipa, en su correo me pidió que revisara su solucion al problema 10 Tercera Fase Nivel 1, con el permiso de él he decidido subir su solución a este blog, para poder responderle, y también para poder comentar qué aspectos se pueden mejorar de su solución, ya que es una interrogante de muchos cómo se debe escribir una solución, por ejemplo para la cuarta fase.
Al final del documento que me envió me pide también unas sugerencias a otros problemas, si alguno de ustedes ya resolvió algunos de esos problemas, también lo puede ayudar.
Problema 10. (Nivel 1 – Fase 3, 2008)
Decimos que un entero positivo es óptimo si en su escritura decimal los dígitos 1 y 8 aparecen ambos exactamente una vez. Por ejemplo 2018 y 1578 son óptimos, mientras que 2008 y 1128 no lo son. Sea S la suma de los 770 menores números óptimos. Calcular el resto de dividir S entre 10 000.
El enlace al documento:
Olimpiadas Matemáticas en el Perú 
En casi la mitad de problemas que pude resolver de la ONEM, nunca apliqué una justificación y han habido problemas que son más difíciles explicarlos que resolverlos; y creo que será muy útil lo de «como se debe escribir una solución», espero que pronto escriba, profesor Tipe; los pasos de como debe ser una correcta solución para un problema. Le estaría muy agradecido.
puedo subir mi solucion?
Una solución muy interesante; y para el problema 8 del segundo nivel una sugerencia sería:
y 
-Primero hacer
Por binomio al cubo:
Muy buena ayuda!!
ya bueno gabriel mi solucion en la tercera fase lo hice rapido pero si fuea para una cuarta fase lo haria asi:
(como no se usar latex el numeral lo escribire asi .
1)Denotamos a todos los numeros de 4 cifras o menos de la fora ; donde a puese tomar los valores del 0 al 9 ,igualmente para el b,c y d; y luego observamos cuantos numeros optimos de 4 cifras o menos hay hasta alli haciendo el conteo; esta mas que claro que los numeros optimistan tienen exactamente 1 digito 1 y un digito 8, por lo del problema porlo tanto 2 de los 4 digitosle pertenecen uno al 1 y el otro al 8.
s.p.g :
*El 8 toma 4 posiciones puede ser a,b,c o d=4
*El 1 toma 3 valores que son los 3 que sobran despues de que 8 toma su valor
*Luego despues de quie el 8 y el 1 tomen sus «casillas» las cuales son exactamente 2 digitos del numero , los dos digitos restantes toman 8 valores cada uno los cuales son: 2,3,4,5,6,7,8,9,0 = 8×8 = 64
-Por lo tanto la cantidad de numeros optimistas de 4 o menos cifras es : 64x3x4=768 ; y ademas sabemos con toda certeza que son los primero 768 pero nos damos cuenta de que faltan dos mas pero para eso sabemos que el mayor numero osea el 768avo numero optimo es 9981 (el mayor de todos),menor
es 18 , porque tiene que tener 2 cifras
ahora
tenemos
que hallar
cualessonlos dos que siguen pero para eso sabemos que sn de 5 cifras y como queremos que sean el 769avo y el 770avo entonces son :10008 y 10018 eso esta claro porque son los mas inmediatos de 5 cifras ahora sumamos:
18+81+118+……..+9881+9918+9981+10008+10018; agrupamos los setecientos sesentaiocho primeros :(18+9981)+(81+9918)+(118+9881)+……..y queda : 9999+9999+9999+9999+……..+9999 ; como son de dos en dos y hay 768 numeros entonces obtenemos : 768×999/2=3829616; y a eso le falta sumarle 10008 y 10018 : y obtenemos 3839616+10008+10018=3859652=S
Finalmente el resultado de dividir S entre 10000;
3859652=9652(mod 10000)
disulpen me equivoke embes de 10018 es 10028
John PC, gracias por la ayuda que me diste, ahora te agradecería que me dieras tu correo electronico o sino escribeme a mi correo matador14h@hotmail. com ó a matador14h@gmail.com quisiera saber de donde eres por favor dimelo, gracias
Soy de Cajamarca (Capital).
Gabriel, como te dije antes, tu solución está bien, solo te recomendaría ser más conciso. Cuando te dicen que justifiques todos los pasos, no significa necesariamente que expliques con todos los detalles cada paso, luego de hacer algunos pasos, hay otros que ya son obvios, y a veces ya no es necesario volver a explicar qué hiciste en cada paso.
Por ejemplo, en tu solución, los casos 1), 2) y 3) se pueden resumir en uno solo: Cuando el dígito de la izquierda es 1. En ste nuevo caso, el 8 tiene 3 posibilidades para ser ubicado, y cada uno de los dos dígitos que quedan tienen 8 posibilidades (0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9), por lo tanto, la cantidad de números óptimos en este caso es 3x8x8=192.
De la misma forma se pueden juntar tus casos 4) 5) y 6) y también tus casos del 7) a 12), claro que después tendrías que indicar la forma de cada uno de estos casos para que calcules la suma.
Ahora, si hubieses segudio la misma estructura de tu solucion, una vez que escribes:
1) Cuando m=1, n=8 entonces el numeral es así 18pq , pero “p” y “q” toman 8 valores cada uno respectivamente, dichos valores son:
p = 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9
q = 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9
Luego la cantidad de números óptimos que hay son 1 x 1 x 8 x 8 = 64 números.
para el caso 2) pudiste haber escrito mejor:
2) Cuando m=1, p=8 entonces el numeral es así 1n8q , analogamente al caso anterior, la cantidad de numeros óptimos es 64.
Cuando dices ANÁLOGAMENTE, ya se sobrentiende que estás haciendo el mismo procedimiento que el caso anterior
Buenos días profesor Jorge, un día me puse hacer la solución mas breve y lo logre, le podria enviar para que le de el visto bueno, le pregunto por que, ya le envie varios mensajes y hasta la fecha o me contesta, supongo que es porque no tiene tiempo o no le llega el mensaje no se realmente, pero quisiera que me conteste