¿Será posible encontrar cuatro números irracionales distintos tales que su suma sea un número racional, y su producto sea 2009?
¿Será posible encontrar cuatro números irracionales distintos tales que su suma sea un número racional, y su producto sea 2009?
Profesor Jorge Tipe he intentado solucionar el problema planteado por su persona y he concluido que sí es posible encontrar dichos numeros irracionales(esbozaré verbalmente mi solucion-luego tengo pensado mandarsela ya de manera más formal).He usado un polinomio de cuarto cuarto grado donde sus soluciones son 4 numeros irraconales algebraicos(conjugados de dos en dos)luego utilice divisibilidad con respecto al módulo 8 y con un poco de tanteo encontre un conjunto de números que satisface dicha condicción. No sé si me podria indicar si mi solucion va por buen camino o no.
-creo que hay infinitos numeros que cumplen esa identidad y creo que este tambien cumple:
su producto es 2009 por la diferencia de cuadrados agarrando los 2 primeros sale 41 y los 2 ultimos 49 y como 41×49 es 2009…..
y su suma es :30;porque se cancelan los radicales cada uno con su negativo, disculpen por no saber poner en radical.
Editado (fórmulas en LaTeX) por Jorge Tipe
Muy buena soluición de jdst.
Sea el polinomio:
Donde soluciones de dicho polinomio:
Multiplicando se obtiene:
Trabajando con el módulo 8
Como ambos se expresan como 8º+1 ó 8º-1
→Asumamos que «a» es par:
→
→Asumamos que «a» es impar:
→
ANALIZANDO AMBAS CONDICIONES QUE SON ANALOGAS PARA c y d. CON LO CUAL SABEMOS QUE ESTAS SOLUCIONES SON INFINITAS Y UNO DE LOS NÚMEROS QUE CUMPLEN ESA CONDICION ES
a=7
b=8
c=9
d=32
No veo tan claramente porqué son infinitas.
Es cierto, fue un gran error en mi solucion.=(
Considere los numeros:
Donde a,b,c y d son numeros enteros mayor o iguales a 0 y b y d no son cuadrados perfectos.
Tenemos que
Tomemos (1) y (2)
Voy a darle valores, a c y a d, que cumplan (2).
Tomese y para cierto k, tq k es entero y k es mayor o igual a 1.
Entonces:
. Ahora probamos que nunca es un numero racional. Para esto probamos que d no es un cuadrado perfecto.
Supongamos que d, en efecto, es un cuadrado perfecto.
Anteriormente teniamos que
Luego d es un numero par y por lo tanto, por ser cuadrado perfecto es divisible entre 4. Como entonces lo cual es imposible ya que es un numero impar. Esto es una contradiccion y por lo tanto b nunca es un cuadrado perfecto.
Ahora le voy a dar valores a “a” y a “b”, de tal forma que
Sea y . Luego
Nada mas me hace falta justificar que siempre es un numero irracional. Para esto voy a demostrar que b nunca es un cuadrado perfecto.
Esto es bastante sencillo y es similar a como se demostró que d no era un cuadrado perfecto. Supongamos que b es un cuadrado perfecto. Sabemos que por lo tanto b es un numero par, lo cual implica que b debe ser divisible entre 4.
Claramente si 4 dividiese a b entonces 2 dividiría a lo cual es imposible ya que es impar. Se sigue que b nunca es cuadrado perfecto.
En resumen tenemos que:
Claramente 17+2k > 3+2k => a es diferente de c.
Si a = b entonces lo cual solo sucede para valores no enteros de k. Por lo tanto a es diferente de b.
Si a = d entonces $ latex 17+2k = 4k^2+12k+2 => 4k^2 +10k-15 $ Esto solo sucede cuando k no es un numero entero. Por lo tanto a es diferente de d.
Si b = c entonces . Solo sucede cuando k no es un entero. Entonces, b es diferente de c.
Si b = d entonces Pero k es mayor o igual a 1 y por lo tanto b es diferente de d.
Por ultimo si c = d entonces $ latex 3+2k = 4k^2+12k+2 => 4k^2+10k-1 = 0$
que del mismo modo, solo sucede para valores no enteros de k, y por lo tanto c es diferente de d.
En conclusion todos los numeros a,b,c y d son diferentes y satisfacen lo que el problema pide. Ademas como k puede tomar valores infinitos, las soluciones son infinitas.
Nota: en la solucion pasada se me olvido poner el latex
Aca va un esbozo de solucion,
2009 = 41 X 49, entonces consideremos los números:
m y n enteros.
Ademas, para que a,b,c y d sean diferentes entre ellos en cualquier caso, elegimos:
m > 30 y n < -30.
Finalmente si m es mayor que 30 en ningun caso sera racional, (de hecho solo lo es para m=21 o m=-21).
De igual modo si n es menor que -30 en ningun caso sera racional, (solo lo es para n=25 o n=-25 o n=7 o n=-7).
Saludos.