Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

Abril 21, 2009

Un problema con números irracionales

Archivado en: General — Jorge Tipe @ 12:48 pm

¿Será posible encontrar cuatro números irracionales distintos tales que su suma sea un número racional, y su producto sea 2009?

2009

8 comentarios »

  1. Profesor Jorge Tipe he intentado solucionar el problema planteado por su persona y he concluido que sí es posible encontrar dichos numeros irracionales(esbozaré verbalmente mi solucion-luego tengo pensado mandarsela ya de manera más formal).He usado un polinomio de cuarto cuarto grado donde sus soluciones son 4 numeros irraconales algebraicos(conjugados de dos en dos)luego utilice divisibilidad con respecto al módulo 8 y con un poco de tanteo encontre un conjunto de números que satisface dicha condicción. No sé si me podria indicar si mi solucion va por buen camino o no.

    comentario por FABRICIO — Mayo 23, 2009 @ 8:12 pm | Responder

  2. -creo que hay infinitos numeros que cumplen esa identidad y creo que este tambien cumple:
    7-2\sqrt{2}
    7+2\sqrt{2}
    8-\sqrt{15}
    8+\sqrt{15}
    su producto es 2009 por la diferencia de cuadrados agarrando los 2 primeros sale 41 y los 2 ultimos 49 y como 41×49 es 2009…..
    y su suma es :30;porque se cancelan los radicales cada uno con su negativo, disculpen por no saber poner en radical.

    Editado (fórmulas en LaTeX) por Jorge Tipe

    comentario por jdst — Mayo 24, 2009 @ 10:12 pm | Responder

  3. Muy buena soluición de jdst.

    comentario por Jorge Tipe — Mayo 28, 2009 @ 1:35 pm | Responder

  4. Sea el polinomio:
    mx^4+nx^3+px^2+qx+r m,n,p,q,r \mathbb{N}
    Donde x_1, x_2, x_3 y x_4 soluciones de dicho polinomio:
    x_1=a+\sqrt{b}
    x_1=a-\sqrt{b}
    x_1=c+\sqrt{d}
    x_1=c-\sqrt{d}

    Multiplicando se obtiene: (a^2-b)(c^2-d)=2009=41*49
    Trabajando con el módulo 8
    2009\equiv 1 \mod{8}
    (a^2-b)\equiv 1 \mod{8} y (c^2-d)\equiv 1 \mod{8}
    (a^2-b)\equiv -1 \mod{8} y (c^2-d)\equiv -1 \mod{8}
    Como ambos se expresan como 8º+1 ó 8º-1
    →Asumamos que “a” es par:
    a=2k k e \mathbb{N}→ a^2=4k^2

    →Asumamos que “a” es impar:
    a=2k-1 k e \mathbb{N}→ (a^2)\equiv 1 \mod{8}

    ANALIZANDO AMBAS CONDICIONES QUE SON ANALOGAS PARA c y d. CON LO CUAL SABEMOS QUE ESTAS SOLUCIONES SON INFINITAS Y UNO DE LOS NÚMEROS QUE CUMPLEN ESA CONDICION ES
    a=7
    b=8
    c=9
    d=32

    x_1=7+2\sqrt{2}
    x_2=7-2\sqrt{2}
    x_3=9+4\sqrt{2}
    x_4=9-4\sqrt{2}

    comentario por FABRICIO — Mayo 29, 2009 @ 10:33 pm | Responder

  5. No veo tan claramente porqué son infinitas.

    comentario por Jorge Tipe — Mayo 29, 2009 @ 11:16 pm | Responder

  6. Es cierto, fue un gran error en mi solucion.=(

    comentario por FABRICIO — Mayo 30, 2009 @ 12:39 am | Responder

  7. Considere los numeros:

    x_1 = a+ \sqrt {b}
    x_2 = a- \sqrt {b}
    x_3 = c+ \sqrt {d}
    x_4 = c-\sqrt {d}

    Donde a,b,c y d son numeros enteros mayor o iguales a 0 y b y d no son cuadrados perfectos.

    Tenemos que (a^2-b)(c^2-d)= 2009

    Tomemos a^2-b= 287 (1) y c^2 -d = 7 (2)

    Voy a darle valores, a c y a d, que cumplan (2).

    Tomese c= 3+2k y d = 4k^2+12k+2 para cierto k, tq k es entero y k es mayor o igual a 1.
    Entonces:

    c^2-b= 9+12k+4k^2-4k^2-12k-2 = 7. Ahora probamos que \sqrt {d} nunca es un numero racional. Para esto probamos que d no es un cuadrado perfecto.

    Supongamos que d, en efecto, es un cuadrado perfecto.

    Anteriormente teniamos que d = 4k^2+12k+2= 2(2k^2+6k+1)
    Luego d es un numero par y por lo tanto, por ser cuadrado perfecto es divisible entre 4. Como 4 \mid b entonces 2 \mid 2k^2+6k+1 lo cual es imposible ya que 2k^2+6k+1 es un numero impar. Esto es una contradiccion y por lo tanto b nunca es un cuadrado perfecto.

    Ahora le voy a dar valores a “a” y a “b”, de tal forma que a^2-b = 287

    Sea a = 17+2k y b = 4k^2+68k+2 . Luego

    a^2-b = 289+68k+4k^2 -4k^2-68k-2= 287

    Nada mas me hace falta justificar que \sqrt {b} siempre es un numero irracional. Para esto voy a demostrar que b nunca es un cuadrado perfecto.

    Esto es bastante sencillo y es similar a como se demostró que d no era un cuadrado perfecto. Supongamos que b es un cuadrado perfecto. Sabemos que b = 4k^2+68k+2 = 2( 2k^2+34k+1) por lo tanto b es un numero par, lo cual implica que b debe ser divisible entre 4.

    Claramente si 4 dividiese a b entonces 2 dividiría a 2k^2+34k+1 lo cual es imposible ya que 2k^2+34k+1 es impar. Se sigue que b nunca es cuadrado perfecto.

    En resumen tenemos que:

    a = 17+2k
    b = 4k^2+68k+2
    c= 3+2k
    d = 4k^2+12k+2

    Claramente 17+2k > 3+2k => a es diferente de c.

    Si a = b entonces 17+2k=4k^2+68k+2 => 4k^2+66k-15 = 0 lo cual solo sucede para valores no enteros de k. Por lo tanto a es diferente de b.

    Si a = d entonces $ latex 17+2k = 4k^2+12k+2 => 4k^2 +10k-15 $ Esto solo sucede cuando k no es un numero entero. Por lo tanto a es diferente de d.

    Si b = c entonces 4k^2+68k+2 = 3+2k => 4k^2+66k-1= 0. Solo sucede cuando k no es un entero. Entonces, b es diferente de c.

    Si b = d entonces 4k^2+68k+2 = 4k^2+12k+2 => 66k = 0 => k = 0 Pero k es mayor o igual a 1 y por lo tanto b es diferente de d.

    Por ultimo si c = d entonces $ latex 3+2k = 4k^2+12k+2 => 4k^2+10k-1 = 0$
    que del mismo modo, solo sucede para valores no enteros de k, y por lo tanto c es diferente de d.

    En conclusion todos los numeros a,b,c y d son diferentes y satisfacen lo que el problema pide. Ademas como k puede tomar valores infinitos, las soluciones son infinitas.

    Nota: en la solucion pasada se me olvido poner el latex

    comentario por Tomas — Julio 15, 2009 @ 3:16 am | Responder

  8. Aca va un esbozo de solucion,

    2009 = 41 X 49, entonces consideremos los números:

    a = m + \sqrt{m^2 - 41}
    b = m - \sqrt{m^2 - 41}
    c = n + \sqrt{n^2 - 49}
    d = n - \sqrt{n^2 - 49}

    m y n enteros.

    Ademas, para que a,b,c y d sean diferentes entre ellos en cualquier caso, elegimos:
    m > 30 y n < -30.

    Finalmente si m es mayor que 30 en ningun caso \sqrt{m^2 - 41} sera racional, (de hecho solo lo es para m=21 o m=-21).
    De igual modo si n es menor que -30 en ningun caso \sqrt{n^2 - 49} sera racional, (solo lo es para n=25 o n=-25 o n=7 o n=-7).

    Saludos.

    comentario por Roger Federer — Julio 27, 2009 @ 7:23 pm | Responder


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