Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

Enero 6, 2010

Problemas Semanales: Segunda Temporada, Ronda 1

Archivado en: problemas semanales — Jorge Tipe @ 1:05 am

Hola a todos, les dejo los problemas de la primera ronda de esta nueva temporada de los problemas semanales. Espero ver sus soluciones, y comentarios de los problemas a partir del día Domingo 10 de Enero, hasta esa fecha solo están permitidas las consultas para aclarar el enunciado de los problemas. Si escriben sus soluciones antes de esa fecha, voy a tener que borrarlas sin ninguna excepción.

Recuerden que pueden usar código LaTeX para escribir sus soluciones, más información en este enlace.

A partir de ahora, la notación m.n.p para un problema, significa que es un problema de la temporada m, ronda n, nivel p.

2.1.1 Omar tiene 1 moneda de oro, 1 de plata y 6 de cobre (las monedas de cobre son idénticas entre sí). Todas las monedas son del mismo tamaño, y cada una tiene en un lado una cara, y en el otro lado un escudo. ¿De cuántas formas Omar puede apilar todas sus monedas, si no debe de haber dos monedas adyacentes que tengan sus escudos frente a frente?

2.1.2 Halle todas las ternas (x, y,z) de números reales, que sean soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

\displaystyle \frac{4x^4}{1+4x^4}=y^2 ,

\displaystyle \frac{4y^4}{1+4y^4}=z^2,

\displaystyle \frac{4z^4}{1+4z^4}=x^2.

2.1.3 ¿Es posible encontrar 29 enteros positivos x_1, x_2, \ldots, x_{29} tales que {x_1}^2+{x_2}^2+\ldots + {x_{29}}^2=29\cdot x_1\cdot x_2\cdots x_{29} , si además uno de dichos números es mayor que 2010 ?

Enero 2, 2010

Problemas Semanales (Segunda Temporada)

Archivado en: problemas semanales — Jorge Tipe @ 1:06 am

Hola a todos, algunos recordarán los problemas semanales que publiqué en este página en el año 2008 (para los que no los vieron: pongan en el buscador de la columna derecha: Problemas Semanales). Ha pasado mucho tiempo ya, y desde entonces han sido varios los que me han pedido que regresen. No lo pude volver a hacer por que no disponía de tiempo, pues entenderán que hay que dedicarle un tiempo especial a escoger los problemas, leer comentarios y soluciones, escribirlas, etc.

La buena noticia es que he decidido que regresen los problemas semanales, pero… con un nuevo formato: intercalando una semana de problemas semanales y una de “descanso”, es decir, siendo más exactos, ya no serán problemas semanales, sino bi-semanales. Yo sé que algunos dirán que estoy dejando mucho tiempo entre los problemas que vaya dejando, pero he decidido adoptar este nuevo formato, porque estoy casi seguro que no me alcanzará el tiempo para hacerlo a ritmo semanal, así que voy a lo seguro.

Esta temporada de los Problemas Semanales constará de 4 rondas, y cada ronda estará conformada por 3 problemas (uno por cada nivel).

Actualización: LA PRIMERA RONDA COMIENZA EL MIÉRCOLES 6 DE ENERO. 

A los interesados en participar les pido que lo confirmen mediante un comentario en este mismo post (dejando su nombre por supuesto) cuando haya una suficiente cantidad comienzo a subir los problemas.

Todos los que se decidan a participar deben seguir las siguientes reglas:

1) El objetivo de los Problemas Semanales es incentivar la resolución de problemas matemáticos ( no tradicionales ) a nivel escolar, específicamente en nivel secundario, y está dirigido tanto a alumnos como a profesores.

2) El objetivo secundario es que estos problemas sirvan de entrenamiento a los alumnos que se presentarán en la siguiente Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM).

3) Seguiré la división de los alumnos en niveles de la ONEM, es decir:

Nivel 1: Primero y segundo de secundaria.

Nivel 2: Segundo y tercero de secundaria.

Nivel 3: Quinto de secunda2ria.

Cada ronda de los Problemas Semanales estará formada por 3 problemas, uno por cada nivel.

4) La participación es totalmente abierta, es decir, cualquier persona puede resolver cualquier problema de cualquier nivel. Naturalmente, es recomendable que un alumno se concentre en los problemas correspondientes a su nivel y que los profesores trabajen con los problemas de los tres niveles.

5) En los cuatro siguientes días a la publicación de la ronda de problemas, pueden hacer consultas (por medio de comentarios) únicamente acerca de los enunciados de los problemas, es decir, si no entienden lo que pide el problema, o no conocen alguna definición que uso en el enunciado. Está prohibido comentar acerca de la solución de los problemas en el transcurso de los primeros cuatro días.

6) Pasados los cuatro días ya pueden hacer consultas de otro tipo, puede ser para pedir una sugerencia a mi o a alguno de los participantes, o quizás preguntar si tal o cual idea funcionará en la solución del problema. En este período de tres días es recomendable que los participantes escriban sus soluciones, incluso si no están completas.

7) Después de transcurrida esa semana, viene la semana de descanso, en los primeros días de esa semana, escogeré la mejor (o mejores) soluciones de cada problema, y en caso sea necesario escribiré mis soluciones.

8 ) La dificultad de los problemas será variable y estarán sujetas a mi criterio. Por ejemplo, puede ser que en la semana X el problema del nivel 1 sea fácil y el del nivel 2 difícil, y que en la semana Y, el problema del nivel 1 sea muy difícil y el del nivel 2 intermedio.

9) Acepto que me envien problemas, de preferencia si saben su origen (de qué país u olimpiada es) y sería mucho mejor si me envian problemas que han sido creados por ustedes mismos. Me tienen que hacer llegar los problemas a mi correo jorgetipe(arroba)gmail.com y no mediante un comentario. Cuando me envien problemas, deben estar con su solución completa por tres motivos: para saber que estan bien propuestos, ver que son elementales (es decir, que pueden ser resueltos por un estudiante de secundaria) y de paso, me dan una ayuda cuando necesite publicar las soluciones.

10) Por último, es importante recalcar que los Problemas Semanales es un proyecto personal con el fin de incentivar la matemática, no es una obligación. Así que están sujetos a mi disponiblidad. Pero tienen, por parte mía, el compromiso de que voy hacer todo lo posible para que esto funcione, por su parte espero también ese compromiso.

Atentamente,

Jorge Tipe

Diciembre 17, 2009

Pruebas de la Olimpiada Rioplatense 2009

Archivado en: Rioplatense — Jorge Tipe @ 11:48 pm

Como di a conocer hace algunos días, la Olimpiada Rioplatense se llevó a cabo en Argentina, en esta olimpiada participaron países como Argentina, México, Brasil (Sao Paulo), Perú, Uruguay, Paraguay y Colombia, aunque no todos con la misma cantidad de alumnos.

Hay cuatro niveles de participación: Nivel A, 1, 2 y 3 ( Nivel A para los menores y Nivel 3 para los mayores). Las pruebas de cada nivel se toman en dos días, cada día consta de 3 preguntas. Nuestro país fue representado por 9 estudiantes, en los niveles 1, 2 y 3 (no llevamos Nivel A) que fueron los ganadores de nuestra Olimpiada Nacional (ONEM).

En cada día de prueba, los problemas son ordenados en forma creciente a su dificultad, así que, por lo general, los problemas más difìciles son los problemas 3 y 6, y los más fáciles son los problemas 1 y 4.

Les comento un poco, para que sepan un poco la forma en que se elaboran las pruebas. Los líderes de cada delegación llevan sus propuestas de problemas, por lo general separados en dos grupos Grupo 1: Nivel A y 1, Grupo 2: Nivel 2 y 3. Luego, los líderes se separan en esos dos grupos, y cada grupo tiene como objetivo elegir los problemas para los niveles que les corresponde. Una vez definidos los problemas de cada nivel, se elaboran los criterios de corrección.

En este año, fueron incluidos 5 problemas propuestos por Perú:

Nivel A:

problema 5 (Jorge Tipe)

Nivel 1:

problema 2 (Jorge Tipe), problema 3 (John Cuya) y problema 6 (Jorge Tipe)

Nivel 2:

problema 1 (Julio Orihuela)

Estas son las pruebas que fueron tomadas este año: Rioplatense 2009

Diciembre 9, 2009

Resultados de la Olimpiada Rioplatense de Matemática 2009!!!

Archivado en: General — Jorge Tipe @ 11:10 pm

Según informes de John Cuya, que está en Argentina, nuestro país obtuvo 1 medalla de oro, 4 de plata y 3 de bronce en la reciente Olimpiada Rioplatense de Matemática, los resultados fueron:

NIVEL 1

  • Paul Luyo – MEDALLA DE PLATA
  • Raúl Chavez – MEDALLA DE ORO
  • Jesús Advíncula – MEDALLA DE PLATA

NIVEL 2

  • Gianmarco Gutierrez – MEDALLA DE BRONCE
  • José García – MEDALLA DE PLATA
  • Alejandro Warton – MEDALLA DE BRONCE

NIVEL 3

  • Julián Mejía – MEDALLA DE PLATA
  • Josué Piscoya – MEDALLA DE BRONCE
  • Eddy Illanez

¡Felicitaciones!!!!!!

Más información en: Blog Selectivos – Perú

Diciembre 8, 2009

Pruebas de la Tercera Fase ONEM 2009

Archivado en: ONEM, pruebas — Jorge Tipe @ 5:37 pm

Diciembre 4, 2009

Pruebas de la Cuarta fase ONEM 2009

Archivado en: General — Jorge Tipe @ 10:38 am

Las pruebas de la cuarta fase de la  ONEM 2009:

Cuarta Fase, Nivel 1

Cuarta Fase, Nivel 2

Cuarta Fase, Nivel 3

Diciembre 1, 2009

Nuevo libro: IV ONEM 2007

Archivado en: ONEM, libro — Jorge Tipe @ 11:37 pm

Hace unos días (justo antes de la final de la ONEM) fue publicado el libro de la IV ONEM 2007. Con esto se ha logrado el objetivo previsto para este año, publicar dos libros de la ONEM. Al igual que los libros anteriores , este libro contiene los enunciados y soluciones de los 132 problemas de las cuatro fases, además, 60 problemas de entrenamiento, y tres notas teóricas tituladas:

  • Tableros y coordenadas (por John Cuya).
  • Máximos y mínimos trigonométricos (por Israel Diaz).
  • Teorema Chino del Resto (por Claudio Espinoza).

En esta oportunidad somos los mismos autores que el libro de la III ONEM: Jorge Tipe, John Cuya, Claudio Espinoza y Sergio Vera.

  • La sección correspondiente a la cuarta fase, ha sido mejorada y aumentada con respecto al solucionario que fue publicado en esta página.
  • En este libro, como en el publicado anteriormente, se ha mantenido el estilo de incluir 3 artículos de varias páginas (10 páginas en promedio) en vez de incluir más artículos que tengan menos páginas.
  • Queremos agradecer al profesor Uldarico Malaspina, presidente de la Comisión de Olimpiadas, por haber escrito por cuarta vez el prólogo de estos libros de la ONEM, y al profesor Mariano González por sus comentarios y sugerencias, en la revisión del libro.

Bueno, como está escrito en la introducción de los libros, esperamos que este libro les sea de mucha ayuda y que lo usen como material de estudio, pues con ese objetivo los hacemos.

Este, y los libros anteriores los pueden encontrar en las librerías de la editorial lumbreras.

En Lima: Jr. República de Portugal 187, Breña (como referencia, la librería está cerca del cruce de las avenidas Alfonso Ugarte y Bolivia, el Jr. Portugal es paralelo a la Av. Bolivia). Más información en: Librerías a Nivel Nacional

P.D. Ya estamos trabajando en los libros de las ONEM 2008 y 2009, esperamos que ambos sean publicados en el año que viene.

Noviembre 30, 2009

Resultados de la Cuarta fase ONEM 2009

Archivado en: General — Jorge Tipe @ 10:34 pm

Estos son los resultados generales  del examen llevado a cabo el 29 de noviembre en Huampaní.

resultados Nivel 1

resultados Nivel 2

resultados Nivel 3

Noviembre 22, 2009

Concurso Prologmática 2009

Archivado en: General — Jorge Tipe @ 10:55 pm

El colegio Prolog (de Lima), está organizando un concurso de matemática para este sábado 28 de noviembre, y que luego del cambio de fecha de la ONEM (ellos ya tenían definida su fecha con bastante anticipación) ha ocasionado que su concurso sea un día antes del día en que se va a tomar la prueba final de la ONEM. Según me cuentan los organizadores, les gustaría que las delegaciones de distintas partes del país que van a participar en la ONEM, vayan al concurso, aprovechando su corta estadía en Lima.

Los interesados en el concurso, aún están a tiempo para inscribirse. Derepente antes de ir la ONEM  se pueden ganar uno de los tantos premios que ofrecen, y lo interesante es que los premios se van a dar por separado: para alumnos de colegios estatales y particulares.

También, me han invitado a dar la charla a los profesores asistentes, mientras los alumnos estén dando el examen. Así que espero contar con la presencia de ustedes.

Más informes en la página web del colegio: www.prolog.edu.pe

Problemas de Entrenamiento para la Cuarta Fase (ONEM 2009)

Archivado en: General — Jorge Tipe @ 9:55 pm

Últimamente he estado dedicado a terminar el libro de la IV ONEM, que espero tenerles buenas noticias pronto. Debido a eso, no pude subir los problemas de entrenamiento para la cuarta fase, como le he venido haciendo en todas las fases de esta ONEM, el objetivo de estos problema es que comenten y suban sus soluciones, incluso si no estén completas.

1) Un número de 4 dígitos n=\overline{abcd} es llamado olímpico si a<b<c<d y cada dígito es un divisor de n. Por ejemplo, 1236 es olímpico pues 1<2<3<6 y los dígitos 1, 2, 3 y 6 son divisores de 1236. Más aún, 2346 no es olímpico pues 4 no es divisor de 2346.

  • Demuestre que ningún número olímpico tiene un dígito 5.
  • Demuestre que ningún número olímpico tiene un dígito 7.
  • Halle todos los números olímpicos.

2) En una fiesta hay 8 personas, cada par de personas se conocen o no se conocen. Cada persona conoce a exactamente tres de las otras. Determine si las siguientes condiciones se pueden cumplir a la vez:

  • En cualquier grupo de 3 personas, al menos dos no se conocen.
  • En cualquier grupo de 4 personas, al menos dos se conocen.

3) ¿Es posible encontrar dos enteros positivos m y n tales que el mínimo común múltiplo de los números 1, 2, 3, \ldots, m sea igual a 2008 veces el  mínimo común múltiplo de los números 1, 2, 3, \ldots, n ? (Enunciado editado)

4) Sea d(k) la cantidad de divisores positivos de k. Pruebe que existen infinitos enteros positivos M que no pueden ser escritos en la forma: M=\left(\frac{2\sqrt{n}}{d(n)}\right)^2 para algún entero positivo n.

5) Un triángulo tiene uno de sus ángulos igual a 120°, demuestre que los pies de las tres bisectrices interiores forman un triángulo rectángulo.

Octubre 31, 2009

Cuarta Fase ONEM 2009: 28 de Noviembre!

Archivado en: General — Jorge Tipe @ 11:21 pm

Según me informó el presidente de la Comisión de Olimpiadas, la fecha de la cuarta fase ha sido modificada para el 28 de noviembre, ese día está prevista la llegada de las delegaciones a Huampaní, y la prueba será tomada el domingo 29 de Noviembre.

La fecha resulta muy cercana a la Olimpiada Rioplatense, que se realizará el 5 de diciembre, si no me equivoco. Así que , quedará muy poco tiempo entre la cuarta fase y el viaje de los tres alumnos que obtengan las mayores notas en cada nivel.

Octubre 28, 2009

¿Cómo resuelves esta ecuación?

Archivado en: retos — Jorge Tipe @ 12:07 am

Consideremos la ecuación: 3^x+4^x=5^x.

¿Cuáles son sus raíces reales?

¿Puedes explicarnos cómo resolviste esa ecuación?

Espero sus comentarios.

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