Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

Soluciones, Semana 4

4.1 [Solución de Brian] Sean:
a: peso total de las pesas de acero
b: peso total de las pesas de bronce
c: peso de la pesa de oro
Entonces, a+b+c=1+2+3+\cdots+19=190.
El menor peso posible de 9 pesas es: 1+2+3+\cdots+9=45 ,por consiguiente, b\geq45……….(1)
El mayor peso posible de 9 pesas es: 11+12+\cdots+19=135, entonces, 135\leq a.
Pero por dato sabemos que a=b+90, luego, 135\leq b+90 de donde 45\leq b………..(2)
De (1) y (2) obtenemos que b=45, a=135 por lo tanto c=190-(45+135)=10.
RESPUESTA: La pesa de oro pesa 10g.

(Problema del Pretorneo Internacional de las Ciudades, 1999)

___________________________________________________________________________________________________________

4.2 [Solución de la parte a) de Alex Aguirre]
a) Transformando A :
A=1111111111-22222
A=11111 \cdot 10^5+11111-2 \cdot 11111
A=11111 \cdot (10^5-1)
A=11111 \cdot 99999
A=11111^2 \cdot 3^2
\therefore A=33333^2
b) Recordemos el criterio de división por 9: Si un número natural N tiene suma de cifras igual a S, entonces S \equiv N (mod 9), es decir, S y N dejan el mismo resto al ser divididos por 9.
Como la suma de cifras del número \sqrt{A}=33333 es 15, y 15 deja el mismo resto que 6 al ser divididos por 9, entonces $\sqrt{A}$ dejo resto 6 al ser dividido por 9.

 

(Problema de la Olimpiada Brasileña (primera Fase), 2002)

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4.3) [Solución de Roy] Como \alpha es raiz de la ecuacion entonces \alpha^2+\alpha-1=0 \Longrightarrow \alpha^2=1-\alpha
Ahora, debemos hallar \alpha^{10}+55\alpha, vamos a bajarle el grado reemplazando sucesivamente \alpha^2:
\alpha^{10}+55\alpha=(\alpha(\alpha^2)^2)^2+55\alpha=(\alpha(1-\alpha)^2)^2+55\alpha=(\alpha(1-2\alpha+\alpha^2))^2+55\alpha
\alpha^{10}+55\alpha=(\alpha(2-3\alpha))^2+55\alpha=(2\alpha-3\alpha^2)^2+55\alpha=(5\alpha-3)^2+55\alpha
\alpha^{10}+55\alpha=25\alpha^2-30\alpha+9+55\alpha=25-25\alpha-30\alpha+9+55\alpha
\alpha^{10}+55\alpha=34
Esto quiere decir que no importaba que \alpha sea la mayor raiz de la ecuacion, ya que la respuesta es la misma para ambas raices.

 

 

(Problema modificado a partir de uno de la Olimpiada Brasileña (primera Fase), 2002)

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3 comentarios »

  1. […] Semana 4 Guardado en: General — Jorge Tipe @ 2:36 pm Ya pueden ver aquí las soluciones de la Semana 4, las que escogí para ser publicadas son de Brian (4.1) , Alex […]

    Pingback por Soluciones, Semana 4 « Olimpiada Nacional Escolar de Matemática — febrero 2, 2008 @ 2:41 pm | Responder

  2. a)recordermos un dato de multiplicaión

    (3)(3)= 9
    (33)(33)= 1089
    (333)(333)= 110889
    (3..3)(3..3) = 1..108..89
    n terminos 3 n-1 terminos 1 y 8

    A= 1111111111 – 22222 = 1111088889, este tiene cuatro unos , cuatro ochos, un numero cero y nueve; esto cumple con el dato deducimos que
    A = (33333)(33333)comprobado que el núnero A es un cuadrado perfecto
    b)3333= 9k + r hallamos el residuo r, por el criterio de divisibilidad por 9
    3+3+3+3=9k+r
    12=9k+r
    9+3=9k+r entonces r=3 respuesta

    Comentario por fabricio mejia — julio 24, 2008 @ 9:44 am | Responder

  3. porq ya no hay batantes respuestas

    Comentario por brayan — noviembre 19, 2012 @ 2:56 pm | Responder


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