Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

Soluciones, Semana 2

Es fácil notar que, debido a que f es estrictamente creciente, se cumple que f(1)\geq 1, f(2)\geq 2, f(3)\geq 3, …, y en general se cumple que f(n)\geq n, para todo n natural.

2.1 Como f(f(1))=3 entonces 3\geq f(1). Si f(1)=1 tendríamos que 3=f(f(1))=f(1)=1. Si f(1)=3 tendríamos que f(3)=3, que no es posible. Concluimos que f(1)=2, aplicando f en ambos lados obtenemos f(2)=f(f(1))=3 y aplicando nuevamente: f(3)=6, una vez más f(6)=9. Notemos que:

6=f(3) < f(4) < f(5) < f(6)=9

y en consecuencia f(4)=7 y f(5)=8. Para finalizar notemos que f(7)=f(f(4))=12.

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2.2 [Haré algunas modificaciones a la solución de Virgilio Failoc, que estaba correcta]

Demostraré por inducción que f(3^n)=2\times 3^{n} , para n=1 f(3)=6 que es correcto, ahora para demostrar que f(3^{n+1})=2\times 3^{n+1} reemplazaremos n en la ecuación general por 3^n obtenemos f(2\times 3^{n})=3^{n+1} , ahora aplicando f a ambos lados obtenemos f(3^{n+1}) = 2 \times 3^{n+1} de donde queda demostrado que f(3^k)=2\times 3^k; ahora también vemos que f(2\times 3^{n})=3^{n+1} y sea p= (2\times 3^{n}), por lo tanto que f(p)=3^{n+1} de donde también demostramos que cada potencia de tres pertenece a la imagen de la función f.

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2.3 Del problema 2.2 deducimos que f(9)=18 y f(18)=27, por lo tanto

18=f(9)<f(10)<f(11)<\cdots<f(17)<f(18)=27

de donde notamos que f(10)=19, f(11)=20, f(12)=21,\ldots, f(17)=26 (noten que esto vale no solamente para 9 y 18, sino que en general, para 3^n y 2\times 3^n ). Como f(11)=20 tenemos que 33=f(f(11))=f(20).

Análogamente, como f(81)=162 y f(162)=243, entonces f(82)=163, f(83)=164, f(84)=165,\ldots, f(161)=242, es decir, f(81+m)=162+m para 0\leq m \leq 81, en particular f(100)=181.

Concluimos que f(20)+f(100)=33+181=214.


1 comentario »

  1. […] Las soluciones pueden verlas en la parte derecha (en Enlaces Internos) o aquí. […]

    Pingback por Soluciones, Semana 2 « Olimpiada Nacional Escolar de Matemática — enero 13, 2008 @ 4:11 pm | Responder


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