Pruebas: Primera Fase – ONEM 2010

No he podido subir las pruebas antes, porque actualmente estoy en Kazajstán por motivo de la 51 IMO, y nos tenían restringido el internet por motivos de seguridad. Espero tener buenas noticias pronto acerca del resultado de la delegación peruana en esta olimpiada.

Primera fase, nivel 1

Primera fase, nivel 2

Primera fase, nivel 3

…y el archivo con las claves: Claves de la primera fase

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18 comentarios en “Pruebas: Primera Fase – ONEM 2010

    • hola,el metodo que yo use para resolverlo,
      fue usando productos notables,porque por ahi
      juntando datos,vas a obtener de que :

      ab + bc + ca = 0

      y luego le das forma,a la expresion que te pide,y
      ya eso es todo . La respuesta te tiene que salir 3.

    • Primero trabajar con los datos; sea a'=\frac{1}{a}, b'=\frac{1}{b}, c=\frac{1}{c}
      (a')^2+(b')^2+(c')^2=\frac{1}{a^2 }+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2
      a+b+c=-abc \rightarrow \frac{a+b+c}{abc}=-1 \rightarrow a'b'+b'c'+c'a'=-1
      n^2=(a'+b'+c')^2 \rightarrow n^2=(a')^2+(b')^2+(c')^2+2(a'b'+b'c'+c'a')
      n^2=2+2(-1)\rightarrow n=0=a'+b'+c'
      Recordar la identidad: a^3+b^3+c^3 -3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 -(ab+bc+ca))
      Luego con ayuda de la propiedad:
      (a')^3+(b')^3+(c')^3=3a'b'c'
      Ahora veremos lo que se pide:
      $ E=\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}=\frac{abc}{c^3}+\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}=abc(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})$
      Y con lo que obtuvimos en el paso anterior:
      E=abc(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})=abc((a')^3+(b')^3+(c')^3)=abc(3a'b'c')
      E=\frac{3abc}{abc}
      Y como a,b y c son diferentes de cero; entonces E=3.

  1. en la olimpiada del 2010 en el nivel 1 en el problema 10 yo llego a contar solo 9 cuadros que tengan todos sus vertices un punto negro y como sacan que en realidad hay 11 porfavor expliquenmelo porque es serio que yo solo veo 9

    • Digamos que los puntos de arriba (primera línea) son 1 y 2, los de la segunda línea 3, 4, 5, 6, los de la tercera línea 7, 8, 9, 10 y los de la cuarta línea 11 y 12. Se forma un cuadrado con 1, 6, 7 y 12.

  2. Que le vaya muy bien a la delegación peruana, ojalá que lleguen a conocer el cosmódromo de Baikonur y las ex-Tierras Vírgenes, orgullos de la antigua Unión Soviética. ¿El evento se desarrolla en Almá-Atá o en Astaná? Si fuera en la primera ciudad ustedes podrían conocer los maravillosos monumentos kazajos soviéticos. ¡Saludos y muchos éxitos!

  3. Les propongo un problema(una variante de los problemas de la PRIMERA FASE)

    Sean A y B dos enteros positivos. Decimos que A es hijo de B, si A<B, A es un divisor de B, y además la suma de los dígitos de A es igual a la suma de los dígitos de B.
    Por ejemplo, 12 es hijo de 300, pues 12<300 , 12 es un divisor de 300, y además 1+2=3+0+0
    Además B se llama Papá responsable si tiene la menor cantidad de hijos.
    Hallar el menor "Papá responsable" que tenga 37 hijos.

    • Aparte de la buena idea de “papá responsable” que me causó risa…jeje, debo decir que la definición de “papá responsable” no es correcta. ¿2 es papá responsable?¿3 es papá responsable? no se puede decidir según esa “definición”.

  4. seria mejor que digas , hallar el menor número que tiene 37 “hijos” … porque lo de papá responsable no tiene mucho sentido …al menos para mi no ….

  5. buenas tardes no se si me podrian enviar a mi correo el examen resuelto de la primera fase nivel 3 de la onem por favor lo mas pronto posible es que es para realizar un trabajo le agradeceria

  6. perdon…me podrian entregar el examen resuelto. .de la primera fase nivel 2 de la onem a mi correo electronico
    quisiera lo antes posible. . ya que es para un trabajo importante. .les estoy agradecido .. muchas gracias..

  7. Soy docente que trabaja el la región CUSCO me interesan los libros de las pruebas resueltas de las ONEM y otros pero no exixte un distribuidor. ¿como puedo adquirirlos?

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