Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

noviembre 22, 2009

Problemas de Entrenamiento para la Cuarta Fase (ONEM 2009)

Filed under: General — Matemática @ 9:55 pm

Últimamente he estado dedicado a terminar el libro de la IV ONEM, que espero tenerles buenas noticias pronto. Debido a eso, no pude subir los problemas de entrenamiento para la cuarta fase, como le he venido haciendo en todas las fases de esta ONEM, el objetivo de estos problema es que comenten y suban sus soluciones, incluso si no estén completas.

1) Un número de 4 dígitos n=\overline{abcd} es llamado olímpico si a<b<c<d y cada dígito es un divisor de n. Por ejemplo, 1236 es olímpico pues 1<2<3<6 y los dígitos 1, 2, 3 y 6 son divisores de 1236. Más aún, 2346 no es olímpico pues 4 no es divisor de 2346.

  • Demuestre que ningún número olímpico tiene un dígito 5.
  • Demuestre que ningún número olímpico tiene un dígito 7.
  • Halle todos los números olímpicos.

2) En una fiesta hay 8 personas, cada par de personas se conocen o no se conocen. Cada persona conoce a exactamente tres de las otras. Determine si las siguientes condiciones se pueden cumplir a la vez:

  • En cualquier grupo de 3 personas, al menos dos no se conocen.
  • En cualquier grupo de 4 personas, al menos dos se conocen.

3) ¿Es posible encontrar dos enteros positivos m y n tales que el mínimo común múltiplo de los números 1, 2, 3, \ldots, m sea igual a 2008 veces el  mínimo común múltiplo de los números 1, 2, 3, \ldots, n ? (Enunciado editado)

4) Sea d(k) la cantidad de divisores positivos de k. Pruebe que existen infinitos enteros positivos M que no pueden ser escritos en la forma: M=\left(\frac{2\sqrt{n}}{d(n)}\right)^2 para algún entero positivo n.

5) Un triángulo tiene uno de sus ángulos igual a 120°, demuestre que los pies de las tres bisectrices interiores forman un triángulo rectángulo.

7 comentarios »

  1. Soy alumno preparandose para esta olimpiada, desearia q usted pusiera a q nivel pertenece cada problema

    Comentario por Fernando Valderrama Rubio — noviembre 24, 2009 @ 10:26 pm | Responder

  2. ahi va mi una parte incompleta de mi solución del problema 1.

    a) suponiendo que hay una cifra 5, esta debe estar al final, ya que si está al principio la cifra final será un no múltiplo de 5 y eso es una contradicción.

    el número olimpico será de la forma ABC5, loego, como termina en 5 el número es imapr, es decir, las otras cifras, que podian tomar valo de 1 a 4, no pueden ser ni 2 ni 4, solo quedan als cifras 1 y 3, Pero el número tiene que ser de 4 cifras!!…

    Queda demostrado que ningún número olímpico tiene una cifra 5

    Comentario por juankarloz medina ticona — noviembre 25, 2009 @ 8:39 pm | Responder

    • Estimados amigos:

      Sobre el problema 1 he razonado como sigue. Sea N=abcd. Supongamos que N sea olímpico. Entonces d=5 y a<b<c<5. Luego, hay dos posibilidades: a=1, b=2, c=3 o a=1, b=2, c=4. La primera opción provoca una contradicción, pues N no es divisible por 2 ni por 3. La segunda opción, igualmente, pues N no es divisible por 2, 3, aunque si por 4. De esta manera queda refutado que N es olímpico.

      Comentario por Luis Maraví — noviembre 27, 2009 @ 5:00 pm | Responder

      • el 5 tendría que ir al final ya que al estar en el número olímpico este debe ser múltiplo de 5, es decir, debe terminar en 5 (no puede terminar en cero por que el cero no es una cifra válida en un número olímpico) entonces el 5 si o si debe estar al final;
        quedando tres posibilidades

        1235 1245 1345

        no cumple para ninguna

        Comentario por juankarloz medina ticona — noviembre 28, 2009 @ 9:20 am

  3. b)

    Supongamos que si se puede…es claro que el 7 no puede ir al principio(las únicas cifras que quedan mayores que 7 son el 8 y el 9, y necesitamos 3 cifras mas, osea nos faltaría una cifra!!) si el 7 va segundo el número olímpico quedaría de la forma: A789, pero al terminar en 9 ya no es múltiplo de 8.

    Si el 7 va tercero, entonces el número sería de la forma AB78 ó AB79 (A<B<7)
    AB78 no es múltiplo de 8 y AB79 tendría que ser múltiplo de 9 con lo que A+B = 2 ó 11 ( la menor suma de A+B con las condiciones es 3 y la mayor es 11, para A=5 y B=6, pero, como hemos visto antes no puede haber un 5 de cifra en un número olímpico) Entonces el 7 no puede ir tercero

    Queda el último caso, si el 7 va cuarto quedaría de la forma ABC7, con A<B<C<7 y A,B,C difernetes de 5.Además como termina en 7, ni A ni B ni C son pares, quedan entonces como posible cifras 1,3,5. Por lo que el número necesariamente tendría que ser 1357 , pero posee cifra 5, por lo que no es olímpico

    Queda entonces demostrado que un número olímpico no puede tener una cifra 7

    Se me acabo el tiempo
    si puedo resolver mas luego lo subo

    quisiera saber como justificar bien, como para recibir los 25 puntos!

    Comentario por juankarloz medina ticona — noviembre 25, 2009 @ 8:57 pm | Responder

  4. en el problema 3, con m=n no queda resuelto??

    Comentario por juankarloz medina ticona — noviembre 25, 2009 @ 9:00 pm | Responder

  5. (a)Si una cifra fuera 5,abcd seria multiplo de 5, luego d=0 o d=5:lo primero no puede ser, luego d=5. Esto ultimo implica que las demas cifras sean impares (pues ellas dividen a abcd k es impar), y estocontradice el hecho que a<b<c<d-5. Por lo tanto niguna cifra de abcd puede ser 5.
    (b)* Si d=7, entonces todas las cifras serian impares, luego necesariamente a=1,b=3,c=5.contradiccion.
    * Si c=7, entonces d=8 o d=9
    ** si d=8, entonces como 8 divide a abcd, 8 debe dividir a 78. contradiccion.
    ** si d=9, entonces ay c son impares luego abcd=1379, pero 9 no divide a este numero.contradiccion.
    * Si b=7,(OBS previa: d no puede ser impar.Porke?… facil)
    Como d es par (por la OBS), d=8. contradiccion pues b<c<d
    * Si a=7,Como d es par. otra vez contradiccion.
    Por tanto, ninguna cifra de abcd es 7.
    (c) Luego de hacer tres lineas… obtengo k todos los numeros olimp.. son
    1236, 1368 y 1248.

    Pd. me gustaria , comente sobre mi solucion prof jorge.. es korrecta?

    Comentario por roger — noviembre 28, 2009 @ 5:02 pm | Responder


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