Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

septiembre 17, 2009

Algunos problemas de entrenamiento para la Tercera Fase (ONEM 2009)

Filed under: General — Matemática @ 3:50 pm

Como siempre, espero sus comentarios, soluciones, etc.

1) Encuentre el menor entero positivo n>11 para el cual n es múltiplo de 11, n+1 es múltiplo de 12, y n+2 es múltiplo de 13.

2) ¿Cuántos números capicúas de 6 dígitos tienen todos sus dígitos impares?

3) Una ficha 1\times 2 ó 2\times 1, formada por dos cuadraditos es llamada dominó. Un tablero de 5\times 5 fue dividido en 12 dominós y un cuadradito unitario. ¿En cúantas  posiciones posibles puede estar ubicado el cuadradito unitario?

4) La fracción q satisface la siguiente desigualdad: \frac{52}{303}<q<\frac{16}{91}. Halla el menor valor positivo posible del denominador de q.

5) En cada subconjunto de 7 elementos del conjunto \left\{1,2,\ldots,10\right\} se toma el mayor. ¿Cuál es la suma de todos esos elementos mayores?

17 comentarios »

  1. Gracias por los problemas de entrenamiento profesor Tipe, aquí le dejo mi solución para el problemas 5:
    -El 7 aparece solo una vez y es en este subconjunto: {1,2,…,7}.
    -El 8 aparece 7 veces, ya que escogido este, se podrá escoger 6 elementos más del conjunto {1,2,…,7} que es una combinación de 7 en 6.
    -El 9 aparece 28 veces, ya que escogido este, se podrá escoger 6 elementos más del conjunto {1,2,…,8} que es una combinación de 8 en 6.
    -Análogamente se hace lo mismo con el 10.
    -Finalmente la suma de todos los elemetos mayores será: 7×1+8×7+9×28+10×84=1155.

    Comentario por John PC — septiembre 17, 2009 @ 8:22 pm | Responder

  2. Para el problema 3:
    Supongamos que se pinta el tablero como el de uno de ajedrez, sin pérdida de generalidad supongamos que hay 13 casillas pintadas de blanco y 12 de negro; es evidente que el cuadradito libre estará en alguno de los casilleros blancos, entonces el cuadradito unitario podrá tener 13 posiciones posibles.

    Comentario por John PC — septiembre 18, 2009 @ 1:05 pm | Responder

  3. Mi solución para el problema 1:
    Como no sé usar el látex ni el mod, entonces denotaré M(n) como múltiplo de n.
    1)n = M(11) equivalente a decir n = M(11)+11
    2)n+1 = M(12), entonces n = M(12)-1 que es equivalente a decir n = M(12) + 11
    3)n+2 = M(13), análogamente como en el segundo caso: n = M(13)+11
    Con estas tres conclusiones “n” debe ser múltiplo de (11,12 y 13)+11
    y el “n” mínimo mayor que 11 sería:
    n = mcm(11,12,13)+11
    n = 1716 + 11 = 1727

    Espero que se entienda mi solución , y si está mal hágamelo saber.

    Comentario por José Vega — septiembre 19, 2009 @ 4:18 pm | Responder

    • io tbn saq ese resultado

      Comentario por juan frisancho jibaja — septiembre 20, 2009 @ 12:55 pm | Responder

  4. Para el problema 2 mi solución es:
    sea el numeral abccba un capicúa, entonces, como debe tener todas sus cifras impares, para cada una de las variables habrían 5 posibilidades.
    a= {1,3,5,7,9}
    b= {1,3,5,7,9}
    c= {1,3,5,7,9}
    total de números capicúas que cumplen la condición = 5x5x5 = 125

    Comentario por José Vega — septiembre 19, 2009 @ 4:21 pm | Responder

  5. Para el problema 4 mi solución no lo sabría explicar porque es algo extensa, pero me sale 23.
    Mi solución para el problema 5:
    Como el conjunto es {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, entonces el mínimo valor que puede tomar el mayor número en cada subconjunto de 7 elementos es el 7, le sigue el 8,9 y 10
    Entonces:
    Denotaré C(m,n) al número de combinaciones posibles de m elementos tomados de n en n.
    1)Para Nmax = 7 se tomarían valores del 1 al 6
    y se combinarían de 6 en 6.(El 7 está fijo)
    Nº de subconjuntos = C(6,6) = 1
    2)Para Nmax = 8 se tomarían valores del 1 al 7 y se combinarían de 6 en 6.(El 8 está fijo)
    Nº de subconjuntos = C(7,6) = 7
    3)Análogamente se hace para los casos en el que Nmax sea 9 y 10.
    Para Nmax=9 existen 28 combinaciones
    Para Nmax=10 existen 84 combinaciones

    Por último se suman todos los casos:
    (7×1)+(8×7)+(9×28)+(10×84) = 1155

    Comentario por José Vega — septiembre 19, 2009 @ 4:40 pm | Responder

  6. el problema 1 esta bien, lo hice con congruencia y me dio igual; de todas formas no supe hacerlo puramente de congruencia….

    saludos

    Comentario por Emiliano — septiembre 19, 2009 @ 11:09 pm | Responder

  7. concuero que el problema 4 tiene el menor denominador 23; primero digamos que q=a/b; hay que encontrar el minimo valor para b ; yo lo hice masomenos asi, ruego imaginacion🙂, para simplificar el problema eleve a la -1 la desigualdad, de modo que al dejarlo inverso se dan vuelta los signos:

    303/ 52 > b/a > 91/16
    calculamos una aproximacion:

    5,8 > b/a > 5,6

    luego denotemos: b/a = 5 + i/a:

    0,8 > i/a > 0,6
    habria que encontrar el minimo i; observamos que i=2 si y solo si a=3 pero no cumpliria con la fraccion original, asi que i=3 y a=4, que si cumpliria,

    luego:

    b/a = 5 + 3/4 = 23/4;

    a continuacion q= 4/23; y el minimo valor de su denominador es 23,

    otra solucion a mi juzgar menos elegante, es hallar la longitud del intervalo de la fraccion: osea 52/303 – 16/91 =longitud:
    luego demostrar por palomar que si partimos la unidad en 23 ya 1/23 < intervalo, debe haber una solucion dicha particion para algun a

    saludoss

    Comentario por Emiliano — septiembre 20, 2009 @ 12:09 am | Responder

  8. Sea n = 11k = 12p-1 = 13q-2 donde k,p,q son enteros. De 11k=12p-1 obtenemos que k = p+ \frac{p-1}{11}. Por lo tanto:

    11 \mid p-1  => p = 11m+1 para algun entero m. Luego n = 12*11m+11=13q-2 => 12*11m+13 = 13q => q= \frac{12*11*m}{13}+1 Por lo tanto

    13 \mid 12*11*m => 13 \mid m => m = 13a para cierto entero a. De esto obtenemos que

    n = 12*13*11*a+11 >11 => a es distinto de 0. Como ocupamos el menor n ponemos a=1 y encontramos el numero.

    2. Todos los numeors capicuas de seis digitos son de la forma ABCCBA donde A,B y C son digitos. Como todos los digitos del numero deben de ser impares entonces cada digito (que no se repite) puede adquirir 5 posibles valores (1,3,5,7,9). Luego por la regla del producto hay 5*5*5 = 125 formas de combinar estos numeros y por lo tanto hay 125 numeros que cumplen las condiciones.

    5. En total hay \binom{10}{7} = 120 subconjuntos de 7 elementos del conjunto {1,2...10} . Analicemos todos los subconjuntos donde 10 sea un elemento del mismo. Claramente hay \binom{9}{6} = 84 de tales subconjuntos. En todos esos 84 subconhjuntos 10 es su elemento mayor y sumando los 84 10´s obtenemos 10*84 = 840. Falta analizar los otros 36 subconjuntos que no tienen a 10 como elemento. Veamos cuantos subconjuntos tienen al 9 como elemento y no poseen al 10. Estos subconjuntos son en total \binom{8}{6} = 28 . El mayor elemento de estos 28 subconjuntos es 9 y por lo tanto sumando los 28 9´s obtenemos
    28*9= 252. Nos faltan solo 8 subconjuntos. Analizemos los q tienen al 8 como elemento y no tienen ni al 9 ni al 10. De estos hay
    \binom{7}{6} = 7. En estos 7 subconjuntos el mayor elemento es 8. Luego haciendo las 7 sumas obtenemos 8*7 = 56. Ahora solo nos queda un subconjunto q es el que no tiene a 10 ni a 9 ni a 8. Este subconjuntos es
    {1,2...7} cuyo mayor elemento es 7. Luego la suma de todos los mayores elementos es: 840+252+56+7 = 1155 .

    Comentario por Tomas — septiembre 20, 2009 @ 2:06 am | Responder

  9. El problema 3 lo resolv{i con coloraciones en el tablero de 5×5.
    Se colorea similar al tablero de ajedrez, entonces por haber 25 cuadraditos, 13 ser{an negros y 12 serían blancos o viceversa (como gusten), en este caso colorearé 13 de negro y 12 de blanco; el hecho es que la ficha de dominó cubrirá exactamente un cuadradito negro y otro blanco, como se completa el tablero con 12 dominós, entonces quedaría un cuadradito unitario, que es de color negro. Como lo había dicho, hay 13 cuadraditos negros es decir, el cuadradito unitario podrá tomar 13 posiciones.
    =D

    Comentario por José Vega — septiembre 20, 2009 @ 10:51 am | Responder

  10. en la 5, ciertamente el subconjunto sera de la siguiente forma {a;b;c;d;e;f;g}, si g=10, entonces habran C(9;6) subconjuntos de 7 elementos con 10 maximo, si g=9 entonces habran C(8;6) subconjuntos de 7 elementos con 9 elemento maximo, si g=8 entonces habran C(7;6) subconjuntos de 7 elementos con 8 elemento maximo, si g=7 entonces habra 1 subconjunto unico, con elemento maximo a 7, entonces la suma de valores maximos de esos conjuntos es igual a:

    10xC(9;6)+9xC(8;6)+8xC(7;6)+7xC(6;6) = 1155 …………. gracias

    desde Chiclayo – Perú……….
    Emerson Soriano

    Comentario por Emerson — septiembre 24, 2009 @ 10:48 pm | Responder

  11. en la 4), obtengo dos desigualdades:

    . 303a-52b>0 y por ser a y b enteros positivos, se podra deducir que
    303a-52b >= 1………(I)

    . 16b-91a>0 y tambien por lo mismo de la primera desigualdad se conclute que
    16b-91a>=1……….(II)

    en la primera desigualdad se le multiplica a ambos miembros por 91, y en la segunda desigualdad se le multiplica a ambos miembros por 303,despues sumando las dos desigualdades qieda eliminado el termino con “a”, y reduciendo queda 116b>=394 osea b>=3,… entonces el minimo valor entero de b es 4 …………….

    si hay algun error en mis 3 soluciones que e dado hasta el momento, por favor me lo hacen saber, nadie es perfectoo ……… saludos para todos

    Chiclayo – Perú

    Emerson Soriano

    Comentario por Emerson — septiembre 24, 2009 @ 10:51 pm | Responder

  12. Admito que tu solucion del 4 es muchisimo mas elegante que la mia, y es mas determinaste una muy buena cota pero haciendo eso no podes afirmar que halla una posible fraccion de denominador 4, y e estado intentando encontrarla y no pude :-S pro we.. si encontras que puede ser esa fraccion, mucha suerte!!!!

    Comentario por Emiliano — septiembre 25, 2009 @ 7:29 pm | Responder

    • Insisto en que la respuesta es 23, a la solución de Emerson le falta algo de sustento, le falta dar el ejemplo en donde el denominador es el que él dice, sino cualquiera podria decir que el denominador mínimo es tal número, yo no pongo mi solución porque la considero muy larga
      😕
      Saludos…

      Comentario por José Vega — septiembre 26, 2009 @ 8:40 pm | Responder

  13. A la mia le falta demostrar algo??

    Comentario por Emiliano — septiembre 26, 2009 @ 9:26 pm | Responder

    • Yo dije que a la solución de EMERSON le falta algo, no a la tuya, la tuya se entiende, solo eso queria decir, disculpa.
      Saludos

      Comentario por José vega — septiembre 26, 2009 @ 10:48 pm | Responder

    • no , la repuesta es 23, pero tu hallaste el numerado, 4/23 =)

      Comentario por juan — septiembre 26, 2009 @ 10:51 pm | Responder


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