Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

agosto 18, 2009

El mago y su asistente…

Filed under: General — Matemática @ 12:34 am

Este es un problema que propuse para el Primer Examen Selectivo de la XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemática, quizás para varios es un tipo nuevo de problema así que no está de más que aclaren sus dudas acerca del enunciado, espero sus comentarios.

Un mago y su asistente hacen su presentaciónn frente a un público de muchas personas. En el escenario hay un tablero 8 × 8, el mago se venda los ojos, y luego el asistente va invitando a personas del público para que escriban los números 1, 2, 3, 4, . . . , 64 en las casillas que quieran (un número por casilla) hasta completar los 64 números. Después el asistente tapa dos casillas adyacentes, a su elección. Finalmente, el mago se saca la venda de los ojos y tiene que “adivinar”qué número hay en cada casilla que tapó el asistente. Explicar cómo armaron este truco.

Aclaración: Dos casillas son adyacentes si tienen un lado en común.

mago

18 comentarios »

  1. Hola, primero que nada no me quedo 100% claro (solo 99% ;D) el enunciado en la parte de que quienes armaron el truco, supongo que te refieres a que unicamente estan involucrados el mago y el asistente y para nada el publico.

    Entonces si el asistente elije tapar dos numero en especial que previamente ya ha quedado con el mago la cosa seria algo asi:

    -El mago luego de quitarse la venda de los ojos definitivamente sabe cuales son los 2 numeros que le faltan, solo basta ver cuales son los otros 62. Asi que lo unico que necesitaria saber es la ubicacion de uno de ellos, llamemoslo un numero K.

    -Ahora imaginemos un tablero 8×8 tipo ajedrez. Entonces entre el mago y el asistente puedieron haber quedado en que el asistente, sea cual sea el orden en que el publico haya puesto los numeros, siempre este asistente de magia iba a tapar los numeros siguiendo esta secuencia:
    Si el numero 1 estaba en un casillero blanco no lo tapaba
    Si el numero 2 estaba en un casillero blanco no lo tapaba …
    Si el numero x-1 estaba en un casillero blanco no lo tapaba ..asi hasta que
    El numero x estaba en un casillero negro entonces el asistente iba a tapar este numero.

    -Asi luego el mago luego de quitarse la venda de los ojos iba a empezar a buscar así:
    Al numero 1, si no lo veia significa que estaba en el casillero negro tapado, pero si es que lo veia en un casillero blanco pasaba a buscar al numero 2, logicamente aca nunca se va dar el caso que el mago vea el numero 1 y que este se encuentre en un casillero negro porque en dicho caso el asistente debio haberlo tapado segun el magicamente llamado plan.
    Luego buscaba al numero 2 si lo veia en un casillero blanco se disponia a buscar al numero 3, asi hasta
    Que el mago se disponia buscar al numero K (toda esta busqueda es en su mente valga la aclaracion) y efectivamente no lo encontraba, entonces eso significaba que el numero K estaba en un casillero negro.

    Conociendo el numero K podia adivinar cual era el otro numero que se encontraba en el casillero blanco de al lado.

    Slds.

    Comentario por Roger Federer — agosto 22, 2009 @ 12:42 am | Responder

  2. Algunas reflexiones en voz alta:

    1. Si quisiéramos calcular la probabilidad total (un número de los 64 en cada casillero), ella sería \frac{1}{64!}

    2. La adyacencia de dos casillas puede verse solamente bajo dos opciones: dos casillas en sentido vertical (una debajo de otra) o dos en sentido horizontal (una a la derecha de otra).

    3. Condiciones extramatemáticas rechazadas: a menos que el mago tenga una visión aguileña, no podría determinar con rapidez cuáles fueron los números cubiertos. Tampoco cuenta que tuviera un oído agudísimo que le permitiera oír el trazo de los números en el papel.

    4. En cualquiera de las opciones de selección de los dos casilleros se tiene lo siguiente: para el casillero A, la probabilidad es de \frac{1}{64} y para casillero B es de \frac{1}{63}

    Comentario por Luis Maraví Zavaleta — agosto 22, 2009 @ 11:04 am | Responder

  3. bueno,he visto la primera solución en el primer comentario , pero creo que le falló al usar ese modo de hacer el truco , pues hay un caso muy peculiar donde el numero 3 esta en una esquina negra y sus dos vecinas son los numeros 1 y 2 (estan en casillas blancas) ,bueno si supuestamente estan haciendo el truco ,entonces como el 1 esta en una casilla blanca ,segun el truco, el asistente no deberia tapar el 1 , igualmente el 2 ,pues esta en una casilla blanca;pero el 3 esta en una casilla negra, esto quiere decir que tiene que ser tapado , pero al ser tapado el 3 se deberia tapar el 1 y el 2 , pues el 3 tiene como unicos vecinos al 1 y al 2 lo cual es una contradiccion, pues habiamos llegado que ni el 1 ni el 2 deben taparse .

    Comentario por julian — agosto 23, 2009 @ 10:28 am | Responder

  4. Saludos a todos:

    La solución al problema propuesta por Federer es una buena aproximación, pero existe el inconveniente que en el problema la cuadrícula no es de un tablero de ajedrez y que el mago da la opción al público de colocar los números en el orden que quieran. Me parece (si es que no he leído mal) que eso no permitiría adivinar el número colocado en el casillero adyacente.

    Comentario por Luis Miguel Maraví — agosto 23, 2009 @ 10:52 am | Responder

  5. Hay casos, como explica julian, en los que no se puede usar el argumento de Federer, así que aun no se puede podría admitir como solución válida. Lo que sí es cierto, es que se tiene uqe asumir que el público no tienen ninguna complicidad en el truco. La forma de proceder del asistente y del mago debería funcionar para cualquier ordenq eu escoja el público.

    Comentario por Jorge Tipe — agosto 24, 2009 @ 11:37 pm | Responder

  6. Hola, se me ocurre esta forma:

    Vamos a ponerle una etiqueta a los 64 numeros,

    El de la esquina de arriba a la izquierda sera M1, el de su derecha M2, a la derecha de M2 esta M3, asi hasta M8, luego abajo de M8 esta M9, a la izquierda de M9 esta M10, a la izquierda de M10 esta M11 asi hasta llegar a M15, luego abajo de M15 esta M16, a la derecha de M16 esta M17, a la derecha de M17 esta M18 asi hasta M22, luego abajo de M22 esta M23, y bueno asi sucesivamente hasta que M64 estara ubicado justo debajo de M1. Esta medio confuso esto pero espero que se haya entendido mi mala explicacion😉. Al final M64 deberia estar debajo de M1.

    Entonces el asistente chequea M1 y M2,

    Si M1 es mayor que M2 tapa M1 y M2, si M1 es menor que M2 se fija en M2 y M3.
    Si M2 es mayor que M3 tapa M2 y M3, si M2 es menor que M3 se fija en M3 y M4.
    Asi observa hasta que llega a:
    Mk que es mayor que M(k+1) y tapa Mk y M(k+1). Donde hasta este punto claro M1<M2<M3<…<M(k-1) M(k+1). k<64. Si cuano k=63 no ha tapado a nadie quiere decir que M64=64 y M1=1, entonces tapa estos 2 casilleros consecutivos.

    Luego el mago de despues de quitarse la venda de los ojos vera dos casilleros consecutivos Mj y M(j+1), Entonces el mago sabe que Mj es mayor que M(j+1), para j<64. Y si ve que M64 y M1 esa tapados entonces M64=64 y M1=1.

    Salu2.

    Comentario por Roger Federer — agosto 25, 2009 @ 11:55 am | Responder

  7. En el escenario: Un tablero de ajedrez ( el tablero es de un tamaño tal que 2 casillas adyacentes se puedan cubrir con la mano)
    El público emocionado ya llenó el tablero.
    Se garantiza que el asistente SIEMPRE tapará un número mayor y uno menor.
    El asistente dice: “taparé cualesquier par de casillas adyacentes que ustedes escojan, nuestro mago señalará con exactitud qué número hay en cada casilla. Para que vean que es magia de verdad dividiré el tablero en 4 partes ( en forma de cruz) Ahora escojan un cuadrante”.
    El público puede escoger 2 casillas del mismo cuadrante o 2 casillas de cuadrantes diferentes. ( El público escoge: ¡Superior derecho! por ejemplo )
    “Ok, ahora díganme cómo quieren que lo tape ¿en vertical o en horizontal? ( el público escoge por ejemplo ¡En vertical! )
    Y el asistente tapa 2 casillas adyacentes con su mano derecha o izquierda según su posición de tal manera que la punta de sus dedos SIEMPRE cubran al número mayor. El mago al ver qué números faltan sabrá determinar que número corresponde a cada casilla.
    Con esta última parte queda respondida la pregunta “Explica cómo armaron este truco”
    Nota:
    – También pueden convenir bajo las mismas condiciones en tapar al número menor.
    – El tamaño del tablero es relativo, se puede usar cualquier otro objeto para cubrir las dos casillas (un dominó es ideal) con una señal en el extremo.
    Atte. H.T. ( o Inocencio como me quieran llamar)

    Comentario por Inocencio... — octubre 18, 2009 @ 2:29 pm | Responder

    • el público solo participa al inicio escribiendo los núemros, después no participa de ninguna forma.

      Comentario por Jorge Tipe — octubre 18, 2009 @ 7:08 pm | Responder

  8. Profesor Tipe, por favor sugiérame algo sobre la respuesta que acabo de dar. Tal vez no se esperaba esta resolución o es posible que realmente esté mal resuelta.
    Atte. H.T.

    Comentario por H.T. — octubre 18, 2009 @ 2:44 pm | Responder

  9. POR PENSAMIENTO LATERAL.
    Se garantiza que el asistente SIEMPRE tapará un número mayor y uno menor ya que son enteros consecutivos, limitados y sin repetición. Una vez que el público llena el tablero y escoje cualesquier par de casillas adyacentes, el asistente tapa con su mano dichas casillas de tal manera que sus dedos cubran SIEMPRE al número mayor ( y obviamente la palma de su mano cubrirá al número menor)
    El mago al ver qué números faltan sabrá determinar con exactitud qué número corresponde a cada casilla.
    De esta manera queda respondida la pregunta: “explica cómo armaron este truco”
    Observación:
    Las condiciones de resolución son relativas
    ( se escoge el número menor, se utiliza un dominó marcado para tapar las casillas, entre otras)

    Comentario por Henrry Torres Cusman — octubre 18, 2009 @ 5:14 pm | Responder

    • Alternativas como la de poner los dedos en un cuadradito y la palma en otro no son válidos, si aceptamos variantes como esas el problema sería trivial… y ya no sería de matemática.

      Comentario por Jorge Tipe — octubre 18, 2009 @ 7:10 pm | Responder

      • Profesor,, donde puedo ver los resultados de este problema?

        Comentario por Tito — julio 3, 2012 @ 4:34 pm

  10. Entonces profesor con mucho respeto SUGIERO (sólo eso: sugiero) MODIFICAR SU PREGUNTA porque debemos aceptar que el pensamiento lateral también puede resolver muchos problemas matemáticos ( a decir del matemático Dr. Adrián Paenza, )Además para serle sincero apenas lei la pregunta hoy en la mañana ya me había imaginado la resolución. Cuando usted dice: “Alternativas como la de… no son válidos” En principio usted no ha puesto alternativas ( y entiendo que no necesariamente debería ponerlas) ni especificó en su pregunta descartar este tipo de resolución y tampoco es válido decir: pero se supone que es una pregunta de matemática…, porque el pensamiento es divergente (imagínese lo que pensé cuando usted menciona: “quizás para varios es un tipo nuevo de problema así que” …) Y bueno aunque he leído, antes de lanzar mi resolución, los respetuosos comentarios que me antecedían opté por enviar mi posición pues para mí: SI HE DADO CON LA RESPUESTA ya que el mago logra “adivinar” con EXACTITUD qué número hay en cada casilla que tapó el asistente.

    Comentario por Henrry Torres Cusman — octubre 18, 2009 @ 11:41 pm | Responder

  11. Disculpe la continueción de mi comentario pero es importante aclarar que así como está planteada la pregunta entonces, la mía,es sólo una forma más de resolverla.

    Comentario por Henrry Torres Cusman — octubre 18, 2009 @ 11:53 pm | Responder

  12. Disculpe profesor tipe una pregunta podria publicar la solucion oficial a ese problema?

    Comentario por alfredo di stefano — octubre 19, 2009 @ 11:38 pm | Responder

  13. Interesante.No me esperaba este tipo de resolucion,es una nueva forma de plantear un problema.Para mi si es valida.

    Comentario por Rodney RR — octubre 19, 2009 @ 11:45 pm | Responder

  14. Interesante. No me esperaba esta resolucion. Para mi es valida.

    Comentario por rodney r r — octubre 20, 2009 @ 9:26 am | Responder

  15. hola bueno ioestoi de acuerdo con henrry torres esa es la unica manera de acertar con la respuesta

    Comentario por alfaro gallardo — octubre 22, 2009 @ 9:42 pm | Responder


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

Blog de WordPress.com.

A %d blogueros les gusta esto: