Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

julio 23, 2009

Algunos problemas de entrenamiento para la segunda fase

Filed under: General — Matemática @ 1:19 pm

1) La ley de desarrollo de un tipo de bacteria es la siguiente: cada bacteria vive una hora y cada media hora nace una nueva bacteria. ¿Cuántas bacterias nacen de una bacteria 6 horas después de su nacimiento?

2) Sean x, y y z dígitos diferentes. ¿Cuál es el valor de x + y si la suma de los números de tres dígitos \overline{xxx}, \overline{xxy} y \overline{xzz} es 2004?

3) El conjunto A está formado por m enteros consecutivos cuya suma es 2m, y el conjunto B está formado por 2m enteros consecutivos cuya suma es m. El valor absoluto de la diferencia del mayor elemento de A con el mayor elemento de B es 99. Calcule m.

4) ¿Para cuántos valores del número real b la ecuación x^2-bx+80=0 tiene dos soluciones enteras pares distintas?

5) Se escribe un entero positivo en cada una de las 6 caras de un cubo. Para cada vértice del cubo calculamos el producto de los números que están en las 3 caras adyacentes a dicho vértice. La suma de estos 8 productos es igual a 1001. Calcule la suma de los 6 números escritos en las caras del cubo.

19 comentarios »

  1. quisiera que me muestren la resolucion de los problemas de la olimpiada nacional escolar de matematica primera fase – nivel 1 realizada en Perú Arequipa el 26 de junio del 2006

    Comentario por solimar — julio 26, 2009 @ 3:51 pm | Responder

  2. PROBLEMA NÚMERO Nº2

    del problemas se obtiene:
    3x<20; donde x=6,algo; entonces se concluye que
    x=6 (necesariamente)

    2x+z<20;(x=6)
    z<8
    ahora: x+y+z=14 ó 24, ya que se
    descarta que sea 4 xq (x=6)
    si z<8, entonces se descarta que: x+y+z=24,
    x lo que necesariamente x+y+z=14.
    ahora
    x+x+z+1=20 donde (z=7)
    entonces se concluye que x=6, y=1,z=7
    ahi va mi respuesta
    x+y+z=14

    Comentario por César Augusto Sanizo Ascencio — julio 26, 2009 @ 9:18 pm | Responder

  3. La respuesta es X+Y=7
    en el parrafo 2x+z<20, es xq necesariamente se lleva xq x+y+z=14 ó 24, pero me falto plop. sorry x siaca. jeje

    Comentario por César Augusto Sanizo Ascencio — julio 26, 2009 @ 9:19 pm | Responder

  4. SOBRE EL PROBLEMA 4:

    Veamos si estoy bien. Ruego me envíen sus opiniones y crìticas a mi mail: luis_maravi20@yahoo.es. Aún no domino el LaTex:

    La discriminante de esa ecuación debe ser mayor que 0, entonces b =17,90. Las dos raíces pares y distintas supongámoslas f y g. Por la fórmula de Viète, f + g = b, fg = 80. De esta manera, ambas raíces son positivas o ambas raíces son negativas. Esta última opción se descarta porque la suma no originaría número positivo. Analizando los dúos de números que multiplicados den 80, que sean pares y del mismo signo, solamente hay dos dúos diferentes: 2 y 40; 4 y 20. Por lo tanto, solamente hay dos valores de b: 42 y 24.

    Comentario por Luis Maraví Zavaleta — julio 27, 2009 @ 4:11 pm | Responder

    • El número b por dato es real, asi que no necesariamente es positivo.

      Comentario por Jorge Tipe — julio 27, 2009 @ 6:10 pm | Responder

  5. ¡CORRECCION! Se definen dos intervalos para b: b17,90.

    Comentario por Luis Maraví Zavaleta — julio 27, 2009 @ 4:13 pm | Responder

  6. ¿Dónde puedo bajar el LaTex? No puedo corregir el error en los intervalos

    Comentario por Luis Maraví Zavaleta — julio 27, 2009 @ 4:14 pm | Responder

  7. en la 4

    2 x 40
    4 x 20
    8 x 10

    b tiene 6 valores

    esta bien mi respuesta??

    Comentario por juankarloz — julio 27, 2009 @ 5:05 pm | Responder

  8. tiene las claves de la segunda fase nivel 2
    onem 2007??

    Comentario por juankarloz — julio 27, 2009 @ 5:20 pm | Responder

  9. sobre el problema 4 a mi me salen tres valores, la discriminante es postiva
    y tendriamos para B tres posibilidades siendo las raices de la ecuacion x1;x2
    x1 . x2 = 80 ———- pero tiene que dar suma negativa entonces ambas raices tienen que ser negativas por que las multi`plicacion tiene que ser positiva y da: -40 y -2, -20 y -4 por ultimo -8 y -10
    sumando seria: -42, -24 y -18 tres valores para b. ….. estrara bien la respuesta pido por favor alguien me conteste soy nuevo en esto y quisiera saber las claves de los otros problemas si se pudiera se los agradeseria bastante.

    Comentario por franco gutierrez — julio 27, 2009 @ 10:57 pm | Responder

  10. Llego mi hora de comentar :

    Sobre el problema 2 que César Augusto Sanizo Ascencio resuelve asi:
    3x<20 con ello x\leq6 luego necesariamente x=6 . Lo cual no me convence cuando dice que x=6 :

    Mostrare una forma facil de concluir que x=6 :

    Dado que : 100x<\overline{xxx},\overline{xxy},\overline{xzz}<100(x+1)
    sumando las tres desigualdades se obtiene $300x<2004<300(x+1)$ luego claramente x=6 .

    Luego reemplazando se nota que : $y+\overline{zz}=78$ luego 69\leq 11z=overline{zz}=78-y\leq78 con ello Z=7 e y=1

    Comentario por Israel Diaz Acha — julio 28, 2009 @ 1:09 am | Responder

  11. en la 4.

    Pero b puede ser positivo o negativo
    solo dice ke es real

    xD:

    Comentario por juankarlozz — julio 28, 2009 @ 3:28 pm | Responder

  12. raicess (x)

    +- 2 x 40
    +- 4 x 20
    +- 8 x 10

    b puede ser: +42 +24 +18
    -42 -24 -18

    Comentario por juankarlozz — julio 28, 2009 @ 3:37 pm | Responder

  13. Mi solución al problema 4.
    Supongamos que las soluciones sean 2m y 2n ( donde m y n son números enteros distintos), luego b=2m+2n y 80=4mn (suma y producto de raíces) simplificando la última ecuación obtenemos mn=20. Si m y n son positivos tenemos las soluciones (m,n)\in \{(1,20), (2,10), (4,5), (5,4), (10,2), (20,1)\} con lo que los valores de b serían 42, 24 y 18, además hay que notar que no es posible que m=n. Análogamente, si m y n son negativos solo hay que cambiar de signo a las soluciones y obtenemos los siguientes valores de b: -42, -24 y -18. En total b puede tomar 6 valores.

    Comentario por Jorge Tipe — julio 29, 2009 @ 1:31 pm | Responder

  14. 1. me sale 233

    2. x=6, y=1, z=7 -) x+y=7

    3. m=202

    4: 6 valores

    5. le puse “a” a la cara superior, y “b” a la cara inferior
    ya a las otras 4 caras: c,d,e,f

    y obtuve que:

    (a+b)(cd + de +ef +fc) = 1001

    y ahii me kedeee

    Comentario por juankarlozz — julio 30, 2009 @ 5:54 pm | Responder

  15. bueno, esta es una solucion al problema 5 ,
    como lo dijeron en el comentario anterior si vemos el cubo de cierta manera y sea A el numero de arriba , B el de abajo C el de la izquierda ,D el de la derecha E el q esta a nuestro frente y F al que esta por la parte de atras y no lo vemos , entonces los 8 productos son:
    ACE,CBE;BDE;ADE;FCA;FCB;FDA;FDB
    cuya suma es
    S=ACE+CBE+BDE+ADE+FCA+FCB+FDA+FDB=
    (A+B)(CE+DE+FC+FD), pero ademas
    CE+DE+FC+FD=(E+F)(C+D)
    entonces
    S=(A+B).(E+F).(C+D)=1001=11.13.7
    pero (A+B);(E+F);(C+D) son numeros mayores o iguales a 2 ,pues los numeros A;B;C;D;E;F son mayores o iguales a 1 esto quiere decir q se pueden descomponer canonicamente , entonces si definimos la suma de las potencias de los primos q aparecen en la descomposicion canonica de un numero N como s(N), entonces
    s(A+B)+s(E+F)+s(C+D)=s(1001)=3, entonces como
    s(x)es mayor o igual a 1 para todo x mayor o igual a 2 , entonces s(A+B)=s(E+F)=S(C+D)=1
    por lo tanto A+B;E+F;C+D son primos .
    Entonces es claro ver que el conjunto {A+B,E+F;C+D} es el mismo a {11,13,7}
    por lo tanto A+B+C+D+E+F=11+13+7=31
    bastaria dar un ejemplo con dicha suma
    A=5,B=6,E=11,F=2,C=3,d=4

    Comentario por julian — julio 30, 2009 @ 6:56 pm | Responder

  16. por cierto el problema 1 a mi me sale 377 q es fibo 14 he podido llegar de una simple induccion q despues de “n” medias horas de el nacimiento de la primera bacteria hay
    [fibo(n+2)] bacterias ,en particular despues de 12 medias horas (6 horas) hay fibo(14) bacterias =377 bacterias

    Comentario por julian — julio 30, 2009 @ 7:20 pm | Responder

  17. Mi solución al problema 3.

    Sea los conjuntos A = {a,a+1,...,a+m-1} y B = {b,b+1,...,b+2m-1} con m y 2m elementos, respectivamente. Sea S(X) la suma de elementos del conjunto X.

    S(A) = a + (a+1) + ... + (a+m-1) = 2m, reduciendo y despejando a tenemos, a = \frac{5-m}{2}.
    S(B) = b + (b+1) + ... + (b+2m-1) = m, reduciendo y despejando b tenemos, b = 1-m.

    Si M(X) es el mayor elemento del conjunto X, luego por dato tenemos:

    \left|M(A) - M(B)\right| = 99
    \left|(a+m-1) - (b+2m-1)\right|  = 99
    \left|\frac{5-m}{2} - (1-m) - m\right|  = 99
    \left|3-m\right| = 198

    De esta expresión se tiene m = -195 y m = 201, pero como m es positivo, entonces el valor de m = 201.

    NOTA. He usado los corchetes [] como valor absoluto, por que no se poder las barras de valor absoluto con la LATEX.

    Saludos.
    **Gabriel**Fabricio**Mejia**Medina**
    [Editado: ya aparecen las barras del valor absoluto]

    Comentario por gabriel fabricio mejia medina — agosto 2, 2009 @ 10:27 am | Responder

    • Cuando quieran usar valor absoluto puede usar este símbolo: | aunque a veces algunos no lo tienen configurado en su teclado. Por ejemplo |x|.
      En cambio, miren que pasa si usan este comando para colocar el valor absoluto de una expresión más grande: |\frac{a^2+\frac{1}{b}}{2bc}|
      Para que se vea mejor usan el comnado ” \left| ” para abrir las barras del valor absoluto y ” \right| ” para cerrar, noten la diferencia: \left|\frac{a^2+\frac{1}{b}}{2bc}\right|

      Comentario por Jorge Tipe — agosto 2, 2009 @ 1:35 pm | Responder


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