Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

junio 14, 2009

Algunos problemas de entrenamiento para la Primera Fase

Filed under: General — Matemática @ 11:27 pm

Les dejo estos problemas para que practiquen y comenten.

1. Ocho cartas, numeradas de 1 a 8 se colocan en las cajas P y Q, de modo que las sumas de los números de las cartas en cada caja sean iguales. Si sólo hay 3 cartas en la caja P, entonces puedes asegurar que
A) En Q hay tres cartas con número impar                B) En Q hay cuatro cartas con número par
C) La carta número 1 no está en la caja Q                D) La carta número dos está en la caja Q
E) La carta número 5 está en la caja Q

2. Hoy es Domingo. Fran empieza a leer un libro que tiene 290 páginas. Lee 4 páginas al día, menos los Domingos, en que lee 25 páginas. No hay ningún día en que no lea. ¿Cuántos días tardará en terminar el libro?
A) 5        B) 46           C) 40         D) 35            E) 41

3. Oliva toma 2009 piezas cuadradas del mismo tamaño y las coloca todas juntas, lado a lado, para formar un rectángulo sin agujeros. ¿Cuántos rectángulos distintos puede formar?
A)1         B) 2            C) 3           D) 5             E) 10

4. Se consideran las cuatro afirmaciones siguientes relativas al número natural X.
X es divisible por 5 ; X es divisible por 11 ; X es divisible por 55 ; X es menor que 10
Se sabe que dos de esas afirmaciones son verdaderas, y las otras dos son falsas.
Entonces el número X es igual a:
A) 0              B) 5            C) 10      D) 11          E) 55

5.  Sea N el menor número natural que es múltiplo de 22 y que la suma de sus dígitos es 22. Calcula la suma de los cuadrados de los dígitos de N.
A) 170         B) 158             C) 16           D) 126            E) 30  
 
6. Calcule a+b+c+d, si \overline{abcd} y \overline{dcba} son cuadrados perfectos.
A) 22           B) 19                C) 18            D) 17              E) 21

7. Consideramos los números de 10 cifras, formados únicamente por las cifras 1, 2, 3, y tales que dos cifras contiguas cualesquiera difieran en 1. ¿Cuántos hay?
A) 16            B) 32                 C) 64           D) 80               E) 100

10 comentarios »

  1. Gracias por el entretenimiento, profesor Tipe.

    Comentario por John PC — junio 15, 2009 @ 1:40 pm | Responder

  2. Mi solucion al problema 7:
    Notamos que los digitos 1 y 3 son indistintos en el numeral, consideraremos unicamente los digitos 2 y a donde el a toma dos posibilidades, con lo que solamente tendriamos dos posibilidades:
    a2a2a2a2a2<— toma 32 posibilidades
    2a2a2a2a2a<— toma 32 posibilidades

    En total 64, clave C

    Comentario por julian — junio 15, 2009 @ 10:24 pm | Responder

    • La idea de la solución y la respuesta son correctas, pero la explicación se puede mejorar.

      Comentario por Jorge Tipe — junio 15, 2009 @ 10:52 pm | Responder

  3. Mi solucion del problema 5:

    Sabebos que todo cuadrado perfecto termina en las cifras 1,4,5,6,9.
    Entonces dichos números solo pueden inciciar con dichas cifras.
    Además dichos números son múltiplos de 3 (se sabe esto al descomponer canónicamente)
    Así 99^2=9801 al invertir el número seria $ latex 1089=33^2 $.
    a=1
    b=0 a+b+c+d=18
    c=8
    d=9

    Comentario por Fabricio — junio 20, 2009 @ 5:31 pm | Responder

  4. Solución del problema 7:
    Solo es cuestión de agrupar de tres en tres y analizar cuales son las posibilidades. Así tenemos:
    123
    121
    212
    232
    323
    321

    Rpta: 64

    Comentario por Fabricio — junio 20, 2009 @ 7:32 pm | Responder

  5. para el problema 4. Suponiendo que la tercera afirmación sea cierta entonces las afirmaciones 1 y 2 también serán ciertas, pero por condición del problema seria una contradicción, entonces la afirmación 3 no puede ser verdadera, si las afirmación 1 y 4 son verdaderas entonces las afirmaciones 2 y 3 son falsas, luego el valor de X = 5. RESPUESTA B.

    Comentario por gabriel fabricio mejia medina — junio 26, 2009 @ 9:07 pm | Responder

  6. para el problema 5. Primero tendriamos que analizar cuantas cifras puede tener N como mínimo, en este caso son de 3 a mas cifras, si N tuviera tres cifras seria sus cifras 9,9 y 4 pero en ningun orden son múltiplo de 22, luego N tiene 4 cifras entonces sus posibles cifras son los conjuntos A = [9,9,4,0]; B = [9,9,3,1] y C = [9,9,2,2]. Con los conjuntos A y B no se puede formar ningún número múltiplo de 22 y con el conjunto C el único número posible que se puede obtener que sea múltiplo de 22 es 9292. Si N tuviera de 5 a mas de cifras entonces sería mayor que 9292, por tanto el menor valor de N es 9292, piden calcular la suma de los cuadrados de los dígitos de N dicho valor es 81 + 4 + 81 + 4 = 170. RESPUESTA A.

    Comentario por gabriel fabricio mejia medina — junio 26, 2009 @ 9:30 pm | Responder

    • ¿Por que dices que los posibles conjuntos de digitos son A, B y C? La respuesta que tu das esta muy lejos de la correcta.

      Comentario por Jorge Tipe — junio 27, 2009 @ 4:27 pm | Responder

  7. solucion al problema 2
    lee 4 paginas por dia y los domingos 25 entonces lee 49 paginas por semana
    el libro es de 290 paginas entonces se tardara 41 dias

    Comentario por debray 14 — agosto 13, 2009 @ 11:52 am | Responder

  8. la verdad que mi incognita es acerca del problema 6, la verdad es que probe de varias formas y llegue a la respuesta pero me doy cuenta de q no es una solucion formal sino a lo que podria decirse casual o champa, pero quisiera pedirle una idea o quiza la solucion si pudiera ya que realizando una formal mas o menos llehue a tener muchos casos para evaluar, lo cual creo no es normal en este tipo de problemas y para la primera fase…esperando su apoyo…gracias

    Comentario por José — septiembre 21, 2009 @ 7:56 pm | Responder


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