Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

octubre 9, 2008

Problema 6, Nivel 2, Tercera Fase ONEM 2008

Filed under: General — Matemática @ 9:32 pm

Varias personas consultan acerca de este problema:

En un torneo de fútbol participaron 22 equipos y al final de la primera fecha se habían

jugado 11 partidos y se anotaron 9 goles en total. Si por cada partido ganado se obtiene

3 puntos, por cada partido empatado se obtiene 1 punto y por cada partido perdido

se obtiene 0 puntos. ¿ Cuántas de las siguientes proposiciones son necesariamente verdaderas?

  • Al menos uno de los partidos quedó empatado.           

  • Es posible que todos los equipos tengan el mismo puntaje.           

  • Algún equipo obtuvo 3 puntos.           

  • Hay al menos 4 equipos que obtuvieron 1 punto cada uno.           

  • Hay al menos 4 equipos que obtuvieron 3 puntos cada uno.  
________________________________________________________________________________

 

La respuesta que di fue 3.
Bueno, yo propuse este problema, y según mi apreciación las proposiciones verdaderas son la primera, la tercera, y la cuarta… ¿qué dicen ustedes?
Por cierto, si hay algún error de transcripción en las claves, ese error es mío. Aun no he conseguido el archivo oficial que tiene las claves. 

23 comentarios »

  1. Hola Jorge Tipe:
    Con respecto a este problema,tienes razon.
    pues en dos paridos, jugaron cuatro equipos.
    y estos cuatro quedaron empatados 0 a 0; mientras tanto los otros 9 partidos se ganaron 1 a 0.
    …De todas maneras gracias! =)

    Comentario por Mauro — octubre 10, 2008 @ 9:22 am | Responder

  2. Puede suceder que un partido quede 9-0 y que todos los otros partidos queden 0-0.

    Comentario por Jorge Tipe — octubre 10, 2008 @ 10:09 am | Responder

  3. Gracias por la aclaración.

    Comentario por John PC — octubre 10, 2008 @ 11:03 am | Responder

  4. Olaz

    io obtuve la misma respuesta
    mediante unas deducciones ke hice
    de casos posibles
    espero clasificar
    asi ke kisiera prepararme para la sgte fase

    ezpero su ayuda

    zaludOZ!

    Comentario por juankarloz timedi — octubre 10, 2008 @ 2:46 pm | Responder

  5. la 1 … obviamente

    la menor forma de ganar seria 1 a 0
    pero como solo se metieron 9 goles
    osea como maximo hubo 9 equipos que ganaron

    la 3………

    alguien obtiene 3 puntos
    osea alguien gana
    para ke no se cumpla esto
    todos deberian empatar
    y esto no se puede dar
    ya que el numero de goles es 9..impar!

    la 4ta…

    como en la primera hemos comprobado
    hay por lo menos dos empates
    es decir, hay 4 equipos ke por lo menos obtuvieron
    un punto cada uno

    esos es todo ese fue mi razonamiento en ese ejercicio
    si ke me gustan ese tipo de ejrcicios..

    Comentario por juankarloz timedi — octubre 10, 2008 @ 4:00 pm | Responder

  6. No me parece; hay que tener cuidado con lo de nesesariamente, antes revisare bien el problema

    Saludos

    Comentario por Alex Aguirre — octubre 10, 2008 @ 7:10 pm | Responder

  7. De acuerdo con juankarloz, esencialmente es lo mismo que yo hice al crear este problema.

    Comentario por Jorge Tipe — octubre 10, 2008 @ 8:53 pm | Responder

  8. En mi opinion la tercera y la cuarta si son verdaderas; pero en la primera: dice que al menos uno de los partidos quedo empatado, es decir que puede haber solo un partido empatado. Al suponer esto quiere decir que los otros diez partidos se ganaron , como la minima diferencia para ganar es un gol, como minimo hay diez goles; pero el enunciado del problema dice que hay solo 9 goles. Llegando a una contradicción. Lo verdadero sería decir que hay al menos dos partidos empatados. Y no al menos uno.
    Si encuentran algo de incierto porfavor comunicarmelo. Gracias

    Comentario por Cesar Joel — octubre 12, 2008 @ 4:30 pm | Responder

  9. juankarloz, tu mismo lo has dicho hay al menos 2 empates, es decir no puede haber solo un empate

    Comentario por Cesar Joel — octubre 12, 2008 @ 4:57 pm | Responder

  10. Exacto.

    Comentario por John PC — octubre 12, 2008 @ 7:39 pm | Responder

  11. Completamente de acuerdo hay al menos dos empates
    posdata : nunca tienen cuidado al plantear los problemas tenganlo para posterior.

    Comentario por El aguila zombie — octubre 12, 2008 @ 8:26 pm | Responder

  12. Yo pienso que se debe entender bien la pregunta cuando dice cuantas son necesariamente verdaderas , es decir para todos los diferentes resultados que se pueden dar es necesariamente verdadera aquella proposición que cumpla en todos los casos

    La 1ra,4ta son falsas porque en un caso hay al menos 2 o mas empates y en otro puede haber de 4 hasta 20 equipos que obtienen un punto respectivamente

    Ambas proposiciones solo cumplen para un caso asi que seria la 3ª ya que en cualquier caso algún equipo tiene que ganar y éste cumple en todos los casos

    Comentario por Jeffer Vega — octubre 12, 2008 @ 9:44 pm | Responder

  13. Hay algo que tienen que tomar
    en cuenta

    que dice al menos un partido
    quedó empatado
    no! que necesariamente un solo partido quedó empatado
    bueno hay está un problema de entendimiento
    quizás hubiera estado mas simple si hubiera dichos dos partidos
    pero si hubiera dicho eso
    tecnicamente nos hubiera estado regalando la rspsta

    aqui va mi observacion.. para que el enunciado 1 sea falso deben mostrar
    un caso que no cumpla lo mencionado ahi

    y creo ke eso no se puede
    tu mismo lo dijiste césar joel

    por tanto.. el enunciado debe ser verdadero

    Comentario por juankarloz medinaticona — octubre 12, 2008 @ 9:58 pm | Responder

  14. Bueno, vayamos por partes.

    Para Cesar Joel en el comentario 8. Es cierto que hay dos partidos que quedaron 0-0. osea que hay dos partidos empatados. Aquí viene la parte importante…¿acaso eso contradice la primera proposición?…NO!!!
    Si hay al menos dos partidos empatados entonces es correcto decir que hay al menos un partido empatado. Ojo que no estoy diciendo que hay exactamente un partido empatado, eso si sería incorrecto.
    Son cuestiones de lógica, es correcto deducir algo particular a partir de algo general. Como sabemos que hay al menos dos partidos empatados ES CORRECTO decir que hay al menos un partido empatado.

    Para Aguila Zombie en el comentario 11 (no se si es el mismo de la otra vez… no puedo comprobar) primero deberías estar seguro de lo que dices para acusar… ahora, decir que NUNCA tenemos cuidado, que lo juzgen los demás.

    Comentario por Jorge Tipe — octubre 12, 2008 @ 10:25 pm | Responder

  15. Creo yo que la dificultad que tienen es que no están tomando correctamente la frase AL MENOS… la confunden con EXACTAMENTE.

    Algunos ejemplos, para aclarar esta frase, y para que vean que la primera proposición del problema es verdadera.

    Hay tres hermanos: Pedro, Juan y Luis.
    Si Pedro tiene S/5, Juan S/.6 y Luis S/. 7
    ¿Puedo decir que cada uno de los hermanos tiene al menos S/5 ?….Sí
    ¿Puedo decir que cada uno de los hermanos tiene al menos S/4 ?….Sí
    ¿Puedo decir que cada uno de los hermanos tiene al menos S/3 ?….Sí
    ¿Puedo decir que cada uno de los hermanos tiene al menos S/6 ?….No

    Ojo….
    decir: “cada uno de los hermanos tiene al menos S/4”
    no es lo mismo que: “el que tiene menos dinero de los hermanos tiene S/4”

    Quizás confunden AL MENOS con el concepto de mínimo.
    Sea A={6,7,8,9,10}
    ¿Puedo afirmar que cada elemento de A es mayor o igual que 3?….Sí
    ¿Puedo afirmar que cada elemento de A es mayor o igual que 5?….Sí
    ¿Puedo afirmar que cada elemento de A es mayor o igual que 6?….Sí
    OJO….Si digo que cada elemento de A es mayor o igual que 3, no estoy diciendo que el mínimo elemento de A es 3.

    De la misma forma, si en el problema en cuestión, digo que hay al menos un partido empatado, no estoy diciendo que es posible que se de la situación en la que hay exactamente un partido empatado.

    Comentario por Jorge Tipe — octubre 12, 2008 @ 10:35 pm | Responder

  16. Profesor Tipe, puede que me haya equivocado; pero no cree que la pregunta es algo subjetiva. Se puede desdoblar a dos tipos de interpretación; al hablar de cuestión de lógica creo que se refiere a su punto de vista qu no coincide al mío. Espero que me respondan. Gracias

    Comentario por Cesar Joel — octubre 13, 2008 @ 5:47 pm | Responder

  17. Yo no lo tomo como exactamente, cuidado.

    Comentario por Cesar Joel — octubre 13, 2008 @ 5:51 pm | Responder

  18. No, la pregunta no es subjetiva. Cuado dije que es cuestión de lógica me refiero a que deducir algo particular de algo general es una ley lógica. Puede ser que decir: “al menos un partido quedo empatado” contenga menos información que decir “al menos dos partido quedo empatado” pero la primera proposición no deja de ser verdadera.
    Si tengo 21 años y yo digo “tengo más de 15 años” esa proposición es verdadera, aunque contenga menos información que decir “tengo 21 años”

    Comentario por Jorge Tipe — octubre 13, 2008 @ 9:12 pm | Responder

  19. Yeeeeeeeeeeeeeeeee ya estoy en la final y como seguro ya nos conoceremos pido perdon por los insultos aiii pero de verdad esa pregunta creo esta mal el nesesariamente y el al menos que suena como minimo.
    Me gustaria llegar a mar de plata cono sur iberoamericana imo cosas asi
    El Aguila Zombie
    viva Arequipa

    Comentario por El aguila zombie — octubre 13, 2008 @ 10:07 pm | Responder

  20. bueno eh clasificado para la cuarta fase
    y kisiera preparaarme

    asi ke kiziera
    ke subiera algunos materialas mas para prepararme
    esencialmente para la Onem

    zoy de provincia
    del nivel 2

    zaludoz!

    Comentario por juankarloz medinaticona — octubre 18, 2008 @ 1:39 pm | Responder

  21. profesor podria colgar el exmen de la tercera fase, nivel III

    Comentario por CESAR — octubre 18, 2008 @ 6:15 pm | Responder

  22. Bueno, ante todo un saludo con todos.
    Seria una buena idea, ya que no salen aun los resultados en general en un sitio web, q entre nosotros brindemos informacion sobre los clasificados de nuestros departamentos con ayuda de nuestros profesores ; si esq se podria claro, por ejemplo el Anguila Zombi sabe que a clasificado en Arequipa, en 2do nivel (sospecho que beta), y no se quienes mas..yo por ejemplo aun no se si he clasificado.
    Saludos!!
    PD:talvez nos veamos con el anguila zombi😛..asi q pido disculpas por aumentarle una “n” xD jajaja

    Comentario por Kira! — octubre 22, 2008 @ 12:49 pm | Responder

  23. Buen Dia

    Ni vuelta que darle la respuesta es 3 a mi tambien intentaron hacerme dudar mis alumnos pero nada la respuesta es 3

    1.- Si han jugado 11 partidos y únicamente han habido 9 goles, nos están diciendo que hubieron partidos sin goles. Por tanto, estos partidos sin goles fueron empates (este razonamiento es suficiente).VERDADERA

    2.- Para la segunda proposicion, si todos los equipos han de tener la misma puntuación, o bien todos han ganado, o bien todos han perdido (estas dos posiblidades quedan rechazadas por lo dicho anteriormente, al haber partidos empatados), queda o bien todos han empatado. Pero al haber un número impar de goles totales (9 no se puede repartir en numeros pares) no pueden haber empatado todos los equipos. FALSA.

    3.- Al ser impar el número de goles (9), algún equipo habrá marcado más goles que otro(9 no se puede repartir en numeros pares). Es decir algún equipo habrá conseguido los 3 puntos. VERDADERA.

    4.- El peor de los casos (partidos con menos goles; mas o menos repartiendo como electrones en sus orbitales), sería que 9 partidos quedarán con resultado 0-1 y los otros dos partidos 0-0. Es decir, habrían 2*2=4 equipos con 1 punto cada uno. VERDADERO.

    5.- Para analizar esta proposicion analicemos el caso contrario al anterior (4.-). Es que los 9 goles estén repartidos en el primer partido (por ejemplo 5-4 o 3-6, etc.) y los 10 siguientes partidos queden 0-0. Así pues, únicamente habría un equipo con 3 puntos. FALSO.
    \therefore tres de las proposiciones son nesesariamente verdaderas
    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre
    Arequipa - Peru

    Pd.: 5 de mis Alumnos pasaron a la final 3 alfa y 2 beta el mérito es de ustedes queridos alumnos

    Comentario por Alex Aguirre — octubre 22, 2008 @ 5:18 pm | Responder


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