Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

junio 2, 2008

En el Colegio Olímpico…

Filed under: General — Matemática @ 10:38 pm

Este problema que propuse formó parte de la prueba de la Olimpiada de Mayo de este año, dirigida a los alumnos del Primer Nivel. Espero sus comentarios y soluciones de este problema, si no subiré mi solución en unos días.

En el colegio Olímpico los exámenes se califican con números enteros, la menor nota posible es 0, y la mayor es 10. En la clase de aritmética el profesor acostumbra tomar dos exámenes, este año tiene 15 alumnos. Cuando uno de sus alumnos obtiene en el primer examen menos de 3 y en el segundo examen más de 7, él lo llama alumno superado. Al terminar de corregir los exámenes, el profesor promedio las 30 notas y obtuvo 8. ¿Cuál es la mayor cantidad de alumnos superados que pudo haber tenido en esta clase?

Saludos.

6 comentarios »

  1. Disculpe, soy un visitante de su blog, y hace tiempo encontre un comentario en el que le preguntaban sobre algun libro que sea de ayuda para prepararse para las olimpiadas…podria repetir cuales eran los nombres de esos libros…me parece que eran de autores sovieticos…gracias

    Comentario por David — junio 5, 2008 @ 10:35 am | Responder

  2. Te debes referir a los libros de la editorial MIR, visita la página http://www.librosmir.com/contenido.htm

    Comentario por Jorge Tipe — junio 9, 2008 @ 1:29 am | Responder

  3. Sea a el promedio de alumnos con un promedio de a lo más 6 (entre estos están incluidos los alumnos superados) y x la cantidad de alumnos de este tipo y b el promedio de los alumnos restantes. Se debe tener b>8 para que el promedio del salón sea 8.

    Entonces ax+b(15-x)=8(15)=120

    (a-b)x+15b=120

    Supongamos que x>=8

    Si a>=b: 120-15b>=8a-8b -> 120-7b>=8a>=8b -> b<=8 (Contradicción)
    Si a<b: 120-15b 120<=8a+7b 72 b>10 (Contradicción)

    Entonces x<=7

    Un caso en el que se tiene 7 alumnos con promedio menor 6 y buscando además que todos sean alumnos superados es:

    2 10
    2 10
    2 10
    2 10
    2 10
    2 10
    2 10

    9 10
    9 10
    10 10
    10 10
    10 10
    10 10
    10 10
    10 10

    Comentario por Mario Ynocente — junio 12, 2008 @ 10:53 am | Responder

  4. Solucion:
    Como nos dicen el promedio es 8 entonces supondremos que las 30 notas son 8

    n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 … n27 n28 n29 n30
    8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

    eso no dara un promedio 8 pero queremos la maxima cantidad de alumnos superados para lo cual una de las notas tiene q tener un valor de 0 , 1, 2 el excedente tendra q repartiece entre las otras notas 8 , 7 , 6 como queremos lo maximo tendra q ser respartido lo minimo es decir 6
    n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 … n27 n28 n29 n30
    10 10 10 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 2
    para obtener un alumno superado tres notas tendran el valor de 10 cuantos grupos podre formar seran 7 grupos y nos sobraran dos notas q seran 8 , 8
    la maxima cantidad de alumnos superados es 7
    esta es solo una maneras de solucion

    Comentario por Jose Mittani — junio 29, 2008 @ 2:40 pm | Responder

  5. Esta es mi solución, saludos.

    Solución

    Para comenzar notemos que un alumno superado puede obtener como máximo 2 en el primer examen, luego la suma de las notas en sus dos exámenes es como máximo 12.

    Sea k el número de alumnos superados, por la observación anterior, la suma de sus notas es como máximo 12k. Como la suma de las notas de los 15 alumnos es 8\cdot30=240, la suma de las notas de los alumnos no superados es al menos 240-12k.

    Por otro lado, la suma de las notas de los 15-k alumnos no superados es como máximo 20(15-k), pues cada uno de ellos puede obtener como máximo 20 sumando sus dos notas. Sea S la suma de los alumnos no superados, tenemos entonces:
    20(15-k)\geq S \geq 240-12k
    de donde 60 \geq 8k, es decir, k como máximo es 7.

    Faltaría dar un ejemplo para ver que es posible tener exactamente 7 alumnos superados:
    * 7 alumnos obtuvieron 2 en el primer examen y 10 en el segundo examen (ellos son los superados)
    * 2 alumnos obtuvieron 8 en el primer examen y 10 en el segundo examen.
    * 6 alumnos obtuvieron 10 en el primer examen y 10 en el segundo examen.

    notemos que de esta forma la suma de las 30 notas es 7\cdot 12+2\cdot18+6\cdot 20=240, por lo tanto, el promedio es 8.

    Comentario por Jorge Tipe — junio 30, 2008 @ 2:04 am | Responder

  6. Les dejo un problema espero recibir sus soluciones aqui les va; caso cotrario subire la solucion…..

    El 27 de octubre del año 2007 llegaron al Perú los matemáticos rusos Borisiv y Borisovich para asistir al matrimo de uno de sus colegas, mientras iban a la ceremonia Borisov le dice a Borisovich te has dado cuenta que nuestras edades son numeros pares y Borisovich le contesta eso es cierto además la cantidad de deivisores de la diferencia de nuestras edades es un número impar. Ah pero no olvides que la suma de nuestras edades es 146 ¿Qué edad tiene Borisov si es menor que Borisovich?.

    Comentario por Boris Mendoza Portolatino — junio 30, 2008 @ 3:54 pm | Responder


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