Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

marzo 11, 2008

Enunciados, Semana 8

Filed under: General — Matemática @ 8:07 pm

En estos últimos días no tuve tiempo para actualizar la página, sobretodo ahora que se acerca el Selectivo de la Cono Sur (más información en http://selectivos-peru.blogspot.com/ ) , bueno como dije antes no descartaba por completo los Problemas Semanales, y aquí estamos…

Pueden subir sus soluciones a partir del 15 de marzo.

8.1) Sea M un subconjunto del conjunto A=\{1, 2, 3, \ldots, 50\} , tal que la suma de dos elementos distintos de M nunca es un múltiplo de 7. ¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que M puede tener ?

8.2) Halle todos los números primos que son de la forma n=\overline{10101\ldots 01}.

8.3) Dos circunferencias de radios 3 y 12 son tangentes a una recta l en los puntos A y B, y las circunferencias se intersectan en los puntos C y D. Calcule los radios de las circunferencias circunscritas a los triángulos ABC y ABD.

¡ Que les vaya bien !

2 comentarios »

  1. Hola, prof. Tipe, aqui le presento mi solucion del primer problemas de la semana 8.

    Solución:
    Vamos a separar los elementos del conjunto de acuerdo a su equirresidualidad con respecto al modulo 7.
    A= {1;8;15;22;29;36;43;50}→ 8 elementos
    B= {2;9;16;23;30;37;44}→7 elementos
    C= {3;10;17;24;31;38;45}→7 elementos
    D= {4;11;18;25;32;39;46}→7 elementos
    E= {5;12;19;26;33;40;47}→7 elementos
    F= {6;13;20;27;34;41;48}→7 elementos
    G= {7;14;21;28;35;42;49}→7 elementos
    El subconjunto M no puede tener elementos del subconjunto A y F al mismo tiempo, tampoco del par (B;E) y (C;D) . A continuación mostraremos los subconjuntos que puede tener al mismo tiempo:
    (A;B;C), ya que la suma de sus elementos solo puede ser
    (D;E;F), ya que la suma de sus elementos solo puede ser
    (A;B;D), ya que la suma de sus elementos solo puede ser
    (B;C;F), ya que la suma de sus elementos solo puede ser
    (A;C;E), ya que la suma de sus elementos solo puede ser
    Por otra parte, a todos estos subconjuntos podemos añadir el subconjunto G, entonces los subconjuntos tendrán 7 elementos más. En resumen, la cantidad de elementos que podrán tener los subconjuntos es:
    (A;B;C;G), su cantidad de elementos es 29
    (D;E;F;G), su cantidad de elementos es 28
    (A;B;D;G), su cantidad de elementos es 29
    (B;C;F;G), su cantidad de elementos es 28
    (A;C;E;G), su cantidad de elementos es 29
    ∴ El máximo número de elementos que podrá tener M es 29.

    Comentario por Max Diaz — marzo 25, 2008 @ 8:44 am | Responder

  2. le parecio bien ese tiempo en conamat para cuarto de secundaria

    Comentario por giancarlo — septiembre 24, 2008 @ 10:01 pm | Responder


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