Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

febrero 16, 2008

Enunciados, Semana 7

Filed under: problemas semanales — Matemática @ 3:48 pm

Como veo que no le hicieron mucho caso a los retos anteriores, no voy a desaprovecharlos. Por otro lado, espero ver más soluciones para esta semana, han estado disminuyendo el número de soluciones enviadas, no se porque motivo, pero definitivamente hay menos personas participando de los que vi en la Convocatoria que hice al inicio, en ese entonces había mucha gente animada… qué pasó ?

Recuerden que no es necesario que resuelvan los tres problemas a la vez. Pueden subir sus soluciones a partir del 20 de febrero. 

Decimos que un número natural es suma de dos cuadrados, si se puede expresar como la suma de dos cuadrados perfectos ( los cuadrados perfectos son 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \ldots ).

En los siguientes problemas quizás les es conveniente usar la identidad de Lagrange:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

7.1) a) Demuestre que el número 57744 es suma de dos cuadrados.

b) Se tiene k números naturales consecutivos, donde cada uno de ellos es suma de dos cuadrados. Halle el mayor valor posible de k.

7.2) a) Demuestre que N es suma de dos cuadrados si y solamente si 2N es suma de dos cuadrados.

b) ¿ El número 2008 es suma de dos cuadrados ?

7.3) Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo cíclico ABCD se intersectan en el punto E. Dadas las longitudes AB = 39 , AE = 45, AD = 60 y BC = 56 , determine la longitud de CD.

15 comentarios »

  1. Hola prof. JORGE, me podria dar una idea mas clara par desarollar los ejercicios de nivel 1y2.

    Comentario por Dani — febrero 20, 2008 @ 4:25 pm | Responder

  2. Idea más clara…? no entiendes el enunciado?.. especifica en qué quieres que te ayude.

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 20, 2008 @ 4:35 pm | Responder

  3. Buen dia

    Estas son mis soluciones

    7.1
    Parte a)

    Arreglando el número:
    57744 = 4 \cdot 14436
    57744 = 2^2 \cdot (120^2+6^2)
    57744 = 240^2 + 12^2

    Parte b)

    Esta parte considero que es la más interesante y lo mejor que se haya puesto hasta ahora. Empiezo explicando que los números enteros positivos N , que pueden ser expresados como la suma de dos cuadrados son de tres formas las cuales son:

    N_1 = (2m)^2+(2n)^2 = \dot{4}+0
    N_2 = (2m+1)^2+(2n)^2 = \dot{4}+1
    N_3 = (2m+1)^2+(2n+1)^2 = \dot{4}+2

    De donde es directo que N =  \dot{4}+3 no podrá ser expresado como la suma de dos cuadrados.
    Es directo tambien, que solo podran existir tres números consecutivos que pueden ser expresados como la suma de dos cuadrados.
    \therefore  k_{max} =3

    7.2
    Todas las variables que mencionare se refieren a enteros positivos.

    Parte a)

    Primera parte si N entero positivo, se puede expresar como la suma de dos cuadrados demostrare que 2N , tambien se puede expresar como la suma de dos cuadrados
    Sea N , expresable como N = m^2+n^2
    Entonces 2N = 2m^2+2n^2 , lo cual es equivalente a:
    2N = (m+n)^2+(m-n)^2

    \therefore  si N se puede expresar como la suma de dos cuadrados 2N , tambien se podra expresar como la suma de dos cuadrados.

    De donde es directo si N se puede expresar como la suma de dos cuadrados 2^n \cdot N , tambien se podra expresar como la suma de dos cuadrados.

    Segunda parte si 2N entero positivo, se puede expresar como la suma de dos cuadrados demostrare que N , tambien se puede expresar como la suma de dos cuadrados
    Sea 2N , expresable como la suma de dos cuadrados puede ser de dos formas viendo en la parte b) de 7.1 las formas pares las cuales son:

    N_1 = (2m)^2+(2n)^2 = \dot{4}+0
    N_3 = (2m+1)^2+(2n+1)^2 = \dot{4}+2

    Primero asumiendo la primera forma par

    2N = (2m)^2+(2n)^2 = 4m^2+4n^2
    Entonces:
    N = 2m^2+2n^2 = (m+n)^2+(m-n)^2

    Asumiendo la segunda forma par

    2N = (2m+1)^2+(2n+1)^2 = 2(m+n+1)^2+2(m-n)^2
    Entonces:
    N = (m+n+1)^2+(m-n)^2

    \therefore  si 2N se puede expresar como la suma de dos cuadrados N , tambien se podra expresar como la suma de dos cuadrados.

    De donde es directo si 2^n \cdot N se puede expresar como la suma de dos cuadrados, tambien N se podra expresar como la suma de dos cuadrados.

    Parte b)

    2008 = 2^3 \cdot 251

    Entonces por la parte a) de este mismo apartado que dice:

    Si N se puede expresar como la suma de dos cuadrados 2^n \cdot N , tambien se podra expresar como la suma de dos cuadrados.

    Entonces solo basta analizar 251
    Analizando:
    251 =  \dot{4}+3
    Como ya he demostrado anteriormente estos números no pueden ser expresados como la suma de dos cuadrados.

    \therefore  Si 251 no se puede expresar como la suma de dos cuadrados 2^3 \cdot 251=2008 , tampoco se podrá expresar como la suma de dos cuadrados.

    7.3

    Todo cuadrilatero ciclico se puede inscribir en una circunferencia
    De esto se tiene:

    \measuredangle BAC = \measuredangle BDC
    \measuredangle BDA = \measuredangle BCA
    \measuredangle ACD = \measuredangle ABD
    \measuredangle DBC = \measuredangle DAC

    Luego los triangulos AED y BEC son semejantes, tambien los triangulos AEB y DEC son semejantes.

    Aplicando semejanza

    \displaystyle \frac {BE}{AE} = \displaystyle \frac {BC}{AD}

    Reemplazando valores: BE=42

    Aplicando ley de cosenos en los triangulos ADB y ADE

    AB^2=AD^2+BD^2-2 \cdot AD \cdot BD \cdot cos( \measuredangle ADB) AE^2=AD^2+ED^2-2 \cdot AD \cdot ED \cdot cos( \measuredangle ADB)

    Reemplazando valores: ED=21

    Aplicando semejanza

    \displaystyle \frac {CD}{ED} = \displaystyle \frac {AB}{AE}

    Reemplazando valores: CD=18.2

    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre
    Arequipa - Peru

    Comentario por ALEX AGUIRRE — febrero 21, 2008 @ 9:35 am | Responder

  4. Qué bueno que te parezca interesante la parte b) del 7.1, yo inventé el problemita como una aplicación directa de analizar cuadrados perfectos en módulo 4, lástima que solamente tu lo aprecies.
    En esa misma parte, solamente has demostrado que k_{max}\leq 3, es decir, que el k cómo máximo puede ser 3, falta que des un ejemplo en el que muestres que k puede ser 3; tendrías que encontrar tres números consecutivos, tales que cada uno de ellos sea suma de dos cuadrados.

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 21, 2008 @ 11:26 am | Responder

  5. [Comentario de Brian]

    7.3) Como es un cuadrilatero ciclico el angulo entre un lado y la diagonales igual al angulo entre el lado opuesto y la otra diagonal.De esto vamos a obtener 2 pares de triangulos semejantes:
    1)El triangulo BCE con el triangulo ADE, entonces:
    BE/45=56/60, de aqui BE=42
    2)El triangulo ABE con el triangulo CDE, entonces:
    CD/39=DE/45=CE/42=k, de aqui
    CD=13k, DE=15k y CE=14k
    Pero por ser un cuadrilatero ciclico se cumple el teorema de Ptolomeo:
    (45+14k)(42+15k)=39(13k)+56(60)
    De esta ecuacion obtemos dos valores para k(k=-5 V k=7/5=1.4), pero toma el valor positivo ya que nunca una medida es negativa, entonces:
    CD=13k=13(1.4)=18.2
    Por lo tanto, el valor de CD es 18.2
    P.D: Si mis solucion tiene errores hazmelo saber, por favor.

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 21, 2008 @ 6:53 pm | Responder

  6. Buen dia

    Pues fácil y con mucho gusto doy no solamente uno sino dos ejemplos

    8=2^2+2^2
    9=3^2+0^2
    10=3^2+1^2

    16=4^2+0^2
    17=4^2+1^2
    18=3^2+3^2

    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre
    Arequipa - Peru

    Comentario por ALEX AGUIRRE RIVERA — febrero 21, 2008 @ 8:39 pm | Responder

  7. ESTA ULTIMA PARTE FUE LO MAS FACIL LO CHEVERE ESTA EN DEMOSTRAR E AHI LO MAS INTERESANTE NO TE PARECE AMIGO TIPE

    Comentario por ALEX AGUIRRE RIVERA — febrero 21, 2008 @ 8:43 pm | Responder

  8. Porsupuesto que lo más interesante e importante es la primera parte, mi comentario anterior tenía el propósito que completes tu solución, como tú dices, demostraste la parte importante pero te faltó el resto, la solución debe estar completa.

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 22, 2008 @ 12:19 pm | Responder

  9. q paso con la semana 6??

    Comentario por CJ — febrero 23, 2008 @ 7:02 pm | Responder

  10. A qué te refieres con qué pasó? … aun no he pasado las soluciones… pero cómo verás acá están, si crees que alguna solución está mal mencionalo.

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 23, 2008 @ 8:33 pm | Responder

  11. ESTA SEMANA SUBIERON POCAS SOLUCIONES YO LISTO PARA LA SEMANA 8

    Comentario por ALEX AGUIRRE — febrero 25, 2008 @ 9:10 am | Responder

  12. AMIGO TIPE NO TE DESCUIDES DE LOS PROBLEMAS SEMANALES

    Comentario por ALEX AGUIRRE — febrero 29, 2008 @ 6:46 pm | Responder

  13. Ya explique porqué hice un alto en los Problemas Semanales… en un inicio muchos se apuntaron a la convocatoria y poco a poco fueron participando menos… con la última maratón espero que participen más… no he descartado los Problemas Semanales.. como dije también dependia de mi tiempo, y últimamente he estado ocupado con exámenes y otras cosas más,paciencia.

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 29, 2008 @ 7:26 pm | Responder

  14. Ke fue de los problemas semanales?

    Comentario por juankarloz medinaticona — agosto 27, 2008 @ 2:36 pm | Responder

  15. no entierndo x ke de la semana 5 se pasa a la 7

    ke ´no hubo semana 6?

    Comentario por Zeeeaz — agosto 27, 2008 @ 2:46 pm | Responder


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