Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

febrero 10, 2008

n y 2n como suma de dos cuadrados.

Filed under: retos — Matemática @ 5:01 pm

Este es un problema de una competencia húngara de 1938:

Decimos que un número natural es suma de dos cuadrados, si se puede expresar como la suma de dos cuadrados perfectos. Demuestre que N es suma de dos cuadrados si y solamente si 2N es suma de dos cuadrados.

Hungr�a

 

16 comentarios »

  1. Hola, tengo una duda en el enunciado, dice que si N es suma de dos cuadrados si y solo si 2N es suma de dos cuadrados, me parece que la pregunta es “obvia” puesto que 2N es igual a N+N , y existen enteros, digamos a,b y c tal que N=a^{2}+b^{2}=c^{2} entonces 2N es N+N=c^{2}+c^{2} .
    Bueno si estoy equivocado haganme saber.
    Muchas Gracias
    Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — febrero 11, 2008 @ 8:18 pm | Responder

  2. Te equivocas al decir que existen enteros a, b,c tales que a^2+b^2=c^2, por ejemplo, 13 es suma de dos cuadrados ( 13=2^2+3^2 ) pero no existe c tal que 13=c^2.

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 12, 2008 @ 11:30 am | Responder

  3. Sea 2N=x^2+y^2 , y sea x=a+b , y=a-b , reemplazando tenemos 2N=(a+b)^2+(a-b)^2 entonces al operar tenemos 2N=2a^2+2b^2 , que simplificando tenemos N=a^2+b^2 lo que queriamos demostrar.

    Att. Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — febrero 13, 2008 @ 3:57 pm | Responder

  4. el problema te pide demostra dos cosas:
    1) Si N es suma de dos cuadrados, entonces 2N tambien es suma de dos cuadrados.
    2) Si 2N es suma de dos cuadrados entonces N es suma de dos cuadrados.

    Tú has intentado, demostrar 2). Cuando se habla de cuadrados perfectos, se sobreentiende que son cuadrados de enteros. Por ejemplo, 4 es cuadrado perfecto, pero 3 no es cuadrado perfecto a pesar de que 3=\sqrt{3}^2. La idea que tienes es excelente, pero falta que asegures que tanto a y b son enteros.

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 13, 2008 @ 4:33 pm | Responder

  5. La demostracion de Virgilio es correcta con solo partir del hecho de que x e y son enteros, de esta forma ambos son descomponibles en suma y resta de enteros como son a y b, con esto todos son O B V I A M E N T E cuadrados de enteros luego tambien perfectos. Tu demostracion esta bien Virgilio.

    Comentario por Arruba — marzo 20, 2008 @ 5:52 am | Responder

  6. Pues dejame contradecirte, no son siempre dos enteros se pueden descomponer como suma y resta de los mismos enteros, por ejemplo, si 2=a+b y 1=a-b, resulta que a y b no son enteros. Así se supere ese problema de la demostracion de Virgilio, aunque faltaria la otra parte (que en el comentario 4, es la parte 1) )

    Comentario por Jorge Tipe — marzo 21, 2008 @ 1:27 am | Responder

  7. 1) Si N es suma de dos cuadrados, entonces 2N tambien es suma de dos cuadrados.

    N=a^2+b^2 \rightarrow 2N=(a+b)^2+|a-b|^2

    2) Si 2N es suma de dos cuadrados entonces N es suma de dos cuadrados.

    2N=c^2+d^2, tomare dos casos:

    i)c y d pares: c=2m,d=2n \rightarrow N=(m+n)^2+|m-n|^2

    ii)c y d impares: c=2m+1,d=2n+1 \rightarrow N=(m+n+1)^2+|m-n|^2

    Comentario por Mario Ynocente — marzo 23, 2008 @ 6:01 pm | Responder

  8. ¡ Esta solución si esta bien !

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — marzo 24, 2008 @ 12:39 pm | Responder

  9. Si fuesen tan amables quisiera que pongan la solucion del décimo problema de la segunda etapa en el segundo nivel.(ONEM 2007)Gracias

    Comentario por John PC — marzo 24, 2008 @ 2:01 pm | Responder

  10. Primero observa que si la ecuación x^4-3x^3+1=0 tiene raíces a,b,c,d, la ecuación x^4-3x+1=0 tendrá como raíces a sus inversas y sean estas x,y,z,t, entonces lo que te piden será k=x^6+y^6+z^6+t^6=3(x^3+y^3+z^3+t^3)-4=32-3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})=32-\frac{(3)(3)}{1}=23

    Comentario por Mario Ynocente — marzo 24, 2008 @ 2:49 pm | Responder

  11. Otra vez: Muchas gracias Mario Ynocente.

    Comentario por John PC — marzo 26, 2008 @ 2:20 pm | Responder

  12. Tengo esta pregunta:
    ¿Por qué primero colocaste la ecuación x^4-3x^3+1=0 y luego x^4-3x+1=0sin el exponente 3?

    Comentario por John PC — marzo 26, 2008 @ 2:56 pm | Responder

  13. Por lo siguiente:
    Si un polinomio P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 tiene raíces (no nulas) r_1, r_2, \ldots, r_n entonces el polinomio P(x)=a_0x^n+a_{1}x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n (con los coeficientes en orden inverso) tiene raíces \frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \ldots, \frac{1}{r_n}.

    Por ejemplo, Mario hizo esto: 1x^4-3x^3+0x^2+0x+1 \Rightarrow 1x^4+0x^3+0x^2-3x+1.

    Comentario por Jorge Tipe — marzo 27, 2008 @ 1:16 am | Responder

  14. Gracias profesor Tipe por responder mi pregunta.

    Comentario por John PC — marzo 27, 2008 @ 2:21 pm | Responder

  15. Al tratar de sumar x^6+y^6+z^6+t^6 la respuesta que obtengo es 27; pero la respuesta de ti; Mario, es 23.

    Comentario por John PC — marzo 27, 2008 @ 3:30 pm | Responder

  16. si tratamos de demostrar la primera parte: si N se puede expresar como suma de dos cuadrados entonces 2N tambien se puede expresar como suma de dos cuadrados:

    sea N=axa+bxb, dond a y b son enteros positivos

    entonces multiplicando por 2: 2N=2(axa+bxb)

    entonces: 2N=(a+b)x(a+b)+(a-b)(a-b) y es suma

    de dos cuadrados,

    ahora la segunda parte; si 2N=axa+bxb, dond a y b sean enteros positivos, entonces sabemos que 2N es par, asi que o bien a y b son pares a la vez, o bien a y b son impares a la vez

    entonces analizemos caso por caso:

    1) supongamos que a y b son pares, entonces existen m y n enteros positivos, tales que a=2m y b=2n, remplazando tenemos: 2N=4mxm+4nxn entonces reduiciendo tenemos: N=2(mxm+nxn)=(m+n)x(m+n)+(m-n)x(m-n)( demostrado)

    2) supongamos que a y b son impares, entonces existen m y n enteros positivos tales que: a=2m+1;b=2n+1, rmplazando tenemos

    2N=4nxn+4n+1 + 4mxm+4m+1 entonces N=2nxn+2n+2mxm+2m+1=2(mxm+nxn)+2(m+n)+1=(m+n)(m+n)+(m-n)(m-n)+2(m+n)+1=(m+n+1)(m+n+1)+(m-n)(m-n)…… (demostrado)

    gracias………….

    saludos……………

    Emerson Soriano

    Comentario por Emerson Soriano — septiembre 26, 2009 @ 4:25 pm | Responder


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