Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

febrero 7, 2008

Enunciados, Semana 6

Filed under: General — Matemática @ 4:36 pm

Pueden subir sus soluciones a partir del día 11 de febrero.

6.1) a) ¿Es posible escribir el número (2^{100}-1) como suma de tres enteros consecutivos ?

b) ¿Es posible escribir el número 2^{100} como suma de cien enteros consecutivos ?

6.2) Sean a y b meros reales. Demuestre que se cumple la siguiente desigualdad

(a+b)^4 \geq 7a^3b+7ab^3+2a^2b^2

6.3) Halle el menor entero no negativo N para el cual el número (2^{100}+N) se puede expresar como la suma de cien enteros consecutivos.

 

 

14 comentarios »

  1. Saludos a todos
    Solucion

    6.1)
    a) Sea (2^{100}-1)  Igual a (a-1)+(a)+(a+1) = a 3a de donde tenemos que demostrar (2^{100}-1)  es múltiplo de 3, para eso, sabemos que 2^2 \equiv 1 mod. 3, elevando la expresión a la 25, tenemos (2^{100}) \equiv 1  mod. 3, y al restarle uno a ambos miembros quedaría (2^{100}-1) \equiv 0  mod. 3 . Donde queda demostrado que (2^{100}-1)  si puede ser expresado como la suma de tres números consecutivos.
    b) Sea 2^{100}  igual a (a-49)+(a-48)+\ldots+(a+49)+(a+50)=100a+50=2.5^{2}.(2a+1)  viendo la expresión, los factores de 2^{100}  son 2,25 y 2a+1; de donde aparecen dos números impares de donde nunca van a ser una potencia de 2^{100}  .
    6.2) Sabemos que a^{2}+b^{2} \geq 2ab  entonces a^{2}-2ab+b^{2} \geq 0  y también a^{2}-ab+b^{2} \geq 0  puesto que el discriminante es negativo, entonces la expresión es positiva , la multiplicación de dos positivos no afecta la desigualdad, entonces multiplicando ambos miembros tenemos a^{4}-3a^{3}b+4a^{2}b^{2}-3ab^{3}+b^{4} \geq 0  que es equivalente a a^{4}+4a^{2}b^{2}+b^{4} \geq  3a^{3}b+3ab^{3} sumando 4a^{3}b+4ab^{3} a ambos miembros tenemos a^{4}+4a^{3}b +4a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4} \geq  7a^{3}b+7ab^{3} y sumando 2a^{2}b^{2} y factorizando tenemos (a+b)^4 \geq 7a^{3}b+7ab^{3}+2a^{2}b^{2} .
    6.3) Tenemos que $ latex 2^{100}+N $ … (1) igual a (a-49)+(a-48)+\ldots+(a+49)+(a+50)=100a+50=2.5^{2}.(2a+1)  observemos que (1) es múltiplo de 25, entonces trabajemos con los modulos de 25, es decir 2^{10} \equiv -1 mod. 25 entonces que 2^{20} \equiv 1 \pmod {25} , elevando a la 5 tenemos 2^{100} \equiv  1  mod. 25 , de donde 2^{100} + N \equiv N+1  \pmod {25} entonces N debe ser de la forma 25y-1 y a la vez múltiplo pero solo de dos, puesto que si fuera haci $ latex 2^{100}+N $ tendría un factor de 4, lo que no cumple en 2.5^{2}.(2a+1)  , por lo tanto analizando los posibles valores de y son: 1, 3 , 5….. pero piden el menor N por lo tanto y=1 no puede ser pues N=24, y= 3 es a respuesta, entonces N= 74.

    Att. Virgilio $latex Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — febrero 11, 2008 @ 6:34 pm | Responder

  2. Buen dia

    Estas son mis soluciones

    6.1
    Parte a)
    Sean tres números consecutivos k-1; k; k+1 siendo k , un entero positivo se tiene que la suma de estos tres números consecutivos es 3k , donde claramente notamos que esta suma siempre será múltiplo de tres.
    Según esto nuestro número tendrá que ser múltiplo de tres para que pueda ser expresado como la suma de tres enteros consecutivos.
    Aplicando multiplicidad por tres a 2^{100}-1 se tiene:
    2^{100}-1 =( \dot{3}-1)^{100} -1=  \dot{3}+1-1 = \dot{3}

    \therefore  2^{100}-1 se puede expresar como la suma de tres enteros consecutivos

    Parte b)
    Sean cien números consecutivos k-49; k-48; \cdots ; k+49; k+50 siendo k , un entero positivo se tiene que la suma de estos cien números consecutivos es 100k+50 , donde claramente notamos que esta suma siempre será \dot{100}+50 . Según esto nuestro número tendrá que ser de esta forma para que pueda ser expresado como la suma de cien enteros consecutivos.
    Aplicando multiplicidad por cien a 2^{100} se tiene:
    2^{100} = \dot{100}+76 donde claramente observamos que no es de la forma anteriormente mencionada

    \therefore  2^{100} no se puede expresar como la suma de cien enteros consecutivos

    6.2 (a+b)^4 \geq 7a^3b+7ab^3+2a^2b^2
    Esta expresión se puede factorizar y llegar a lo siguiente:
    (a^2-ab+b^2)( a-b)^2 \geq 0
    Analizando:
    En cuanto al primer factor si tomamos a como la variable principal tenemos que el discriminante es -3b^2 lo cual indica que este factor es mayor que cero, cero cuando a y b son cero.
    El segundo factor claramente es mayor o igual a cero ya que es un cuadrado

    \therefore  la desigualdad mencionada se cumple para todos los reales a y b

    6.3 De la parte b) de 6.1 ya sabemos que:
    Para que un numero pueda ser expresado como la suma de cien enteros consecutivos tiene que tener la forma \dot{100}+50
    También que 2^{100} = \dot{100}+76

    Pero nuestro numero en este caso es 2^{100}+N y debe de ser de la forma \dot{100}+50
    Entonces 2^{100}+N = \dot{100}+76+N = \dot{100}+50
    Luego se tiene:
    N = \dot{100}-76+50 = \dot{100}+ 74

    \therefore N_{min}=74

    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre

    Comentario por ALEX AGUIRRE — febrero 11, 2008 @ 9:55 pm | Responder

  3. por favor borra mi primer comentario

    Comentario por ALEX AGUIRRE — febrero 11, 2008 @ 10:06 pm | Responder

  4. Listo!, pero paras las próximas veces puedes poner tu comentario antes aquí: https://onemperu.wordpress.com/2008/01/08/como-escribir-las-formulas-matematicas-latex/ , si aun no estás eguro si saldrá bien.

    Ahora, explícanos porqué 2^{100} = \dot{100}+76, porque obvio no es.

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 12, 2008 @ 11:36 am | Responder

  5. Como puedo hacer para representar multiplicidad

    Comentario por JUAN CARLOS — febrero 12, 2008 @ 4:32 pm | Responder

  6. Para el comentario 3 en el ejercicio 1.b) podría decirse mas facilmente que la suma de 100 números consecutivos siempre será múltiplo de 50, es decir terminará en cero y que obviamente ninguna potencia de 2 termina en cero

    Comentario por JUAN CARLOS — febrero 12, 2008 @ 4:40 pm | Responder

  7. Alex lo hace con \dot{} y pones entre llaves el número que quieras, por ejemplo con \dot{7} obtienes \dot{7}, aunque la verdad no suelo usar mucho esa notación.

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 12, 2008 @ 4:42 pm | Responder

  8. de qué tra manera ´puedo hacerlo???

    Comentario por JUAN CARLOS — febrero 14, 2008 @ 2:42 pm | Responder

  9. Puede ser usando congruencias, por ejemplo 2^3\equiv 1 (mod \, 7) indica que 2^3 es un múltiplo de 7, más 1.

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 14, 2008 @ 4:20 pm | Responder

  10. Buen dia
    RESPUESTA AL COMENTARIO 4
    2^{100}=(1024)^{10}= \dot {100}+24^{10}= \dot {100}+24^{3} \cdot 43^2= \dot {100}+76
    Seguro que se aclaro

    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre

    Comentario por ALEX — febrero 16, 2008 @ 7:27 pm | Responder

  11. Alex, no entendi qué hiciste en los penúltimo y último pasos.

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 17, 2008 @ 11:34 am | Responder

  12. Buen dia

    2^{100} = (1024)^10 = \dot{100}+24^10= \dot{100}+1024^3 \cdot 243^2
    2^{100} = \dot{100}+24^3 \cdot 43^2 = \dot{100}+ 76

    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre

    Comentario por ALEX AGUIRRE — febrero 21, 2008 @ 10:01 am | Responder

  13. ahora se entiende un poco mejor, no se pueden obviar esos pasos en una solución… pero aun me queda una duda… finalmente el 76 se obtiene de multiplicar 24^3\cdot 43^2 (manualmente?) y quedarnos con las dos últimas cifras?

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 21, 2008 @ 11:18 am | Responder

  14. PODRIA SER TAMBIEN COMO DICES PERO ES INMEDIATO
    manualmente como dices uno se demoraria mas pero igual sale.

    Comentario por ALEX AGUIRRE RIVERA — febrero 21, 2008 @ 8:54 pm | Responder


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