A pedido de Mario Ynocente Castro les propongo el siguiente reto:
Demostrar que existen infinitas cuaternas de enteros positivos tales que:
Después les indico la fuente…
A pedido de Mario Ynocente Castro les propongo el siguiente reto:
Demostrar que existen infinitas cuaternas de enteros positivos tales que:
para empezar x, y, z son numeros pares.
si x,y,z,w es solución tambien lo es 2008x,2008y,2008z,w+3
una solucion es 10, 10, 2, 1
Este es mi solución, si tuviera algún error, quisiera que me lo hagan saber.
Comenzaré a analizar, sabemos que un número puede ser múltiplo de 7, de 7º+1, 7º+2, 7º+3,…,7º+6
modulo 7
modulo 7
modulo 7
modulo 7
modulo 7
modulo 7
modulo 7. (Nota {7+n} quiere decir múltiplo de 7 +n, es que no se cómo expresar 7º+n sin que salga error en latex )
Y modulo 7 entonces si w es par modulo 7 y si si w es impar modulo 7.
Si w es impar tendremos debe ser congruente con -1 modulo 7 Es decir modulo 7 , modulo 7 y modulo 7. Tener en cuenta que x,y,z pueden “cambiar de posición”,es decir intercambiar , puesto que los tres están elevados al modulo 3, y la idea no es llegar a cuantas soluciones existen, sino demostrar la existencia de x,y,z.
Si w es par tendremos debe ser congruente con 1 modulo 7 Es decir modulo 7 , modulo 7 y modulo 7.
Una solución en particular es de donde w es impar; x=7+5, y=7.0+4, z=7.0+6 .
Att
Pero te piden infinitas cuaternas tú solamente has dado una cuaterna.
Basta encontrar una solución pues si es solucón, a partir de esta se puede encontrar una familia de soluciones (con lo cual se demuestra que son infinitas) que tienen la forma:
k entero positivo.
haciendo notamos que
(solución particular dada por Virgilio). entonces
puede ser
Saludos
Bueno, ante todo gracias a jorge por aceptar el problema y sobre la fuente pueden consultar el libro «An Introduction to deophantine equations» de Titu Andreescu, el cual tiene una parte dedicada a este tipo de ecuaciones en las q se busca una familia infinita de soluciones, las cuales se expresan mediante parametros.
Les dejo mi correo por si desean que les pase el libro:
[Editado por el momento, hasta que se aclare]
Hay un problema… no se entiende bien cómo quieres «pasar» el material, lo quieres intercambiar o vender ?, si lo estas vendiendo me temo que no lo puedes hacer aquí, cuando me aclares bien esto vuelvo a escribir tu correo.
Solo intercambiarlo, no es mi intencion venderlo, diculpa por no especificar.
zion_backx@hotmail.com
Bueno si es así no hay problema conmigo si lo quieres intercambiar, ya puse ahí tu correo nuevamente. Claro que se tendrían que dirigir directamente a ti, yo no tengo que ver con los intercambios que hagan.
Saludos, y gracias (a nombre de los que se beneficien con esos intercambios 🙂 )
en primer lugar vemos que 2008=8×251, y 251 es un numero primo que se desconpone en suma de 3 cubos: 251=6(3)+3(3)+2(3)
251=5(3)+5(3)+1(3)
a(b)= «a» elevado a la «b»
entonces se nos ocurre una idea:
que pasaria si X.Y y Z son multiplos de 8(W)y aparte de eso que sean proporcionales a 6;3 y 2
entonces X=6Kx8(W);Y=3Kx8(W) y Z=2Kx8(W)
al remplazar quedaria reducidoo ah
216K(3)+27K(3)+8K(3)=251(W)
entonces: 251K(3)=251(W)
entonces K(3)=251(W-1)
entonces por comodidad asume que W=multiplo de 3 mas uno, osea existe un «m» entero positivo, incluyendo al cero (0);tal que W=3m+1;
entonces: K=251(m)
entonces concluimos que las soluciones son:
(X;Y;Z;W)=(6×251(m)x8(3m+1);3×251(m)x8(3m+1);2×251(m)x8(3m+1);3m+1)
y como «m» es un entero arbitrario, entonces hay infinitas soluciones, mas aun si, haces que sean proporcionales a 5;5 y 1 habran otras infinitas cuaternas que dan solucion a la ecuaciòn, dando a «m»=0;1;…
olvide agradecer a jorge tipe por la pagina q sta muy buena!! y a todos los que apollan para q sto siga, saludos dsd Chiclayo – Perú………
gracias……………..