Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

febrero 4, 2008

Una ecuación diofántica con 2008

Filed under: retos — Matemática @ 2:09 pm

A pedido de Mario Ynocente Castro les propongo el siguiente reto:

Demostrar que existen infinitas cuaternas (x,y,z,w) de enteros positivos tales que:

x^3+y^3+z^3=2008^w
Después les indico la fuente…

12 comentarios »

  1. para empezar x, y, z son numeros pares.

    Comentario por jery — febrero 4, 2008 @ 6:24 pm | Responder

  2. si x,y,z,w es solución tambien lo es 2008x,2008y,2008z,w+3

    Comentario por jery — febrero 4, 2008 @ 6:28 pm | Responder

  3. una solucion es 10, 10, 2, 1

    Comentario por jery — febrero 4, 2008 @ 6:30 pm | Responder

  4. Este es mi solución, si tuviera algún error, quisiera que me lo hagan saber.
    Comenzaré a analizar, sabemos que un número puede ser múltiplo de 7, de 7º+1, 7º+2, 7º+3,…,7º+6
    {7}^{3} \equiv {0} modulo 7
    {7+1}^{3} \equiv {1} modulo 7
    {7+2}^{3} \equiv {1} modulo 7
    {7+3}^{3} \equiv {-1} modulo 7
    {7+4}^{3} \equiv {1} modulo 7
    {7+5}^{3} \equiv {-1} modulo 7
    {7+6}^{3} \equiv {-1} modulo 7. (Nota {7+n} quiere decir múltiplo de 7 +n, es que no se cómo expresar 7º+n sin que salga error en latex )
    Y {2008} \equiv {-1} modulo 7 entonces si w es par {2008}^{w} \equiv {1} modulo 7 y si si w es impar {2008}^{w} \equiv {-1} modulo 7.
    Si w es impar tendremos x^{3}+y^{3}+z^{3} debe ser congruente con -1 modulo 7 Es decir {x}  \equiv {3,5,6} modulo 7 , {y}  \equiv {1,2,4} modulo 7 y {y}  \equiv {3,5,6} modulo 7. Tener en cuenta que x,y,z pueden “cambiar de posición”,es decir intercambiar , puesto que los tres están elevados al modulo 3, y la idea no es llegar a cuantas soluciones existen, sino demostrar la existencia de x,y,z.
    Si w es par tendremos x^{3}+y^{3}+z^{3} debe ser congruente con 1 modulo 7 Es decir {x}  \equiv {1,2,4} modulo 7 , {y}  \equiv {1,2,4} modulo 7 y {y}  \equiv {3,5,6} modulo 7.
    Una solución en particular es {12}^{3}+{4}^{3}+{6}^{3}={2008}^{1} de donde w es impar; x=7+5, y=7.0+4, z=7.0+6 .
    Att Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — febrero 4, 2008 @ 7:49 pm | Responder

  5. Pero te piden infinitas cuaternas (x,y,z, w) tú solamente has dado una cuaterna.

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 5, 2008 @ 12:40 pm | Responder

  6. Basta encontrar una solución pues si (x_o;y_o;z_o;w_o) es solucón, a partir de esta se puede encontrar una familia de soluciones (con lo cual se demuestra que son infinitas) que tienen la forma:
    (2008^kx_o;2008^ky_o;2008^kz_o;w_o+3k) k entero positivo.
    haciendo w_o=1 notamos que {12}^{3}+{4}^{3}+{6}^{3}={2008}^{1}
    (solución particular dada por Virgilio). entonces

    (x_o;y_o;z_o;w_o) puede ser (12;4;6;1)

    Saludos

    Comentario por RMC — febrero 6, 2008 @ 1:22 am | Responder

  7. Bueno, ante todo gracias a jorge por aceptar el problema y sobre la fuente pueden consultar el libro “An Introduction to deophantine equations” de Titu Andreescu, el cual tiene una parte dedicada a este tipo de ecuaciones en las q se busca una familia infinita de soluciones, las cuales se expresan mediante parametros.

    Les dejo mi correo por si desean que les pase el libro:

    [Editado por el momento, hasta que se aclare]

    Comentario por Mario — febrero 22, 2008 @ 11:18 pm | Responder

  8. Hay un problema… no se entiende bien cómo quieres “pasar” el material, lo quieres intercambiar o vender ?, si lo estas vendiendo me temo que no lo puedes hacer aquí, cuando me aclares bien esto vuelvo a escribir tu correo.

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 23, 2008 @ 5:52 pm | Responder

  9. Solo intercambiarlo, no es mi intencion venderlo, diculpa por no especificar.

    zion_backx@hotmail.com

    Comentario por Mario Ynocente — febrero 23, 2008 @ 8:42 pm | Responder

  10. Bueno si es así no hay problema conmigo si lo quieres intercambiar, ya puse ahí tu correo nuevamente. Claro que se tendrían que dirigir directamente a ti, yo no tengo que ver con los intercambios que hagan.

    Saludos, y gracias (a nombre de los que se beneficien con esos intercambios🙂 )

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 23, 2008 @ 8:54 pm | Responder

  11. en primer lugar vemos que 2008=8×251, y 251 es un numero primo que se desconpone en suma de 3 cubos: 251=6(3)+3(3)+2(3)
    251=5(3)+5(3)+1(3)

    a(b)= “a” elevado a la “b”

    entonces se nos ocurre una idea:

    que pasaria si X.Y y Z son multiplos de 8(W)y aparte de eso que sean proporcionales a 6;3 y 2

    entonces X=6Kx8(W);Y=3Kx8(W) y Z=2Kx8(W)
    al remplazar quedaria reducidoo ah

    216K(3)+27K(3)+8K(3)=251(W)

    entonces: 251K(3)=251(W)

    entonces K(3)=251(W-1)

    entonces por comodidad asume que W=multiplo de 3 mas uno, osea existe un “m” entero positivo, incluyendo al cero (0);tal que W=3m+1;

    entonces: K=251(m)

    entonces concluimos que las soluciones son:

    (X;Y;Z;W)=(6×251(m)x8(3m+1);3×251(m)x8(3m+1);2×251(m)x8(3m+1);3m+1)

    y como “m” es un entero arbitrario, entonces hay infinitas soluciones, mas aun si, haces que sean proporcionales a 5;5 y 1 habran otras infinitas cuaternas que dan solucion a la ecuaciòn, dando a “m”=0;1;…

    Comentario por Emerson Soriano — septiembre 28, 2009 @ 7:55 pm | Responder

  12. olvide agradecer a jorge tipe por la pagina q sta muy buena!! y a todos los que apollan para q sto siga, saludos dsd Chiclayo – Perú………

    gracias……………..

    Comentario por Emerson Soriano — septiembre 28, 2009 @ 8:03 pm | Responder


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