Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

febrero 2, 2008

Polígono convexo con ángulos en P.A

Filed under: retos — Matemática @ 2:02 pm

Otro problemita de geometría, este es de la Olimpiada de Estonia, 2001:

Los ángulos de un polígono convexo de n lados son \alpha, 2\alpha, \ldots, n\alpha. Hallar los posibles valores de n.

La bandera de estonia

Que les vaya bien!

5 comentarios »

  1. Saludos a todos.
    Solucion
    Sabemos que la suma interior de angulos de un poligono es :
    180(n-2) y la suma de los angulos de dicho poligono es:
    \alpha+2\alpha+3\alpha+\ldots+n\alpha=\frac{n(n+1)(\alpha)}{2}

    entonces 180(n-2)=\frac{n(n+1)(\alpha)}{2} y sabemos tambien que si el poligono es convexo entonces el mayor angulo es menor que 180º es decir
    n\alpha<180 reemplazando tenemos \frac{360(n-2)}{(n+1)}<180
    que nos da 2<n<5 por lo tanto las posibles soluciones de n es 3 y 4.
    Lo podemos comprobar y nos da para n=3, \alpha=30 y para n=4, \alpha=36 .

    Att. Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — febrero 3, 2008 @ 11:51 am | Responder

  2. Un pequeño detalle, cómo sabes que existe un cuadrilátero convexo de ángulos \alpha, 2\alpha, 3\alpha, 4\alpha cuando \alpha=36^{\circ} ??

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 3, 2008 @ 2:38 pm | Responder

  3. Bueno, reemplaze en la ecucion que dice 180(n-2)=\frac{n(n+1)\alpha}{2} y como hallamos que los posibles valores de n es 3 y 4; reemplazando particularmente para n=3,nos queda \alpha=30 y para n=4,nos queda \alpha=36 , quisiera saber si esta bien la solucion, …
    Saludos a todos.
    Att. Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — febrero 3, 2008 @ 4:57 pm | Responder

  4. El proceso lo entendi, pero cómo aseguras que existe un cuadrilátero convexo de ángulos 36°, 72°, 108° y 144° ??

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 4, 2008 @ 2:32 pm | Responder

  5. tomamos 2 piesas con un lado en comun la primera el triangulo ABC con <ABC=36, Y <ACB=100 ; Y EL TRIANGULO ACF CON <CAF=28 Y <AFC=144 Y COMO SABEMOS QUE AMBOS TRIANGULOS EXISTEN ENTONDE JUNTAMOS LAS 2 PIESAS CON UNICAMENTE EN COMUN EL LADO AC Y LOS VERTICES A Y C Y HAY TENEMOS EL CUADRILATERO CICLICO DE ANGULOS 36,72,108 Y 144

    Comentario por alfredo di stefano — octubre 19, 2009 @ 11:46 pm | Responder


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