Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

enero 13, 2008

Soluciones, Semana 2

Filed under: General — Matemática @ 4:08 pm

Por ahora, ya escribí las soluciones de los problemas 2.1 y 2.2. La solución que escribí del 2.2 es esencialmente la misma que la de Virgilio Failoc, le hice algunas modificaciones.

Las soluciones pueden verlas en la parte derecha (en Enlaces Internos) o aquí.

[Actualización: Ya están completas las soluciones de la Semana 2] 

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enero 11, 2008

Reparto Pirata

Filed under: General,retos — Matemática @ 6:31 pm

Este es un problema de la OMA (Olimpiada MAtemática Argentina) del 2004, a ver cómo les va con Morgan y sus piratas.

La ley pirata establece que para repartir las monedas de un tesoro el capitán debe elegir un grupo de piratas y repartir equitativamente las monedas entre los piratas elegidos hasta que no haya suficientes para darle una más a cada uno. Las monedas sobrantes son la parte del capitán. Morgan debe repartir un tesoro con menos de 1000 monedas de oro. El sabe que si elige 99 piratas se quedará con 51 monedas y si elige 77 piratas le corresponderán sólo 29 monedas.
Determinar cuántos piratas debe elegir Morgan para quedarse con la mayor cantidad de monedas respetando la ley pirata, y para esa cantidad de piratas, cuántas monedas le corresponden a Morgan.

ACLARACIÓN: Los piratas elegidos deben recibir por lo menos una moneda cada uno.

Morgan

enero 10, 2008

5n+3 puede ser es primo?

Filed under: General,retos — Matemática @ 7:00 pm

Otro problema, esta vez más interesante que el anterior. El de ahora es de la Olimpiada Matemática Rusa de 1993. Debo confesar que la primera vez que me encontré con este problema, no me salió, intenté muchas cosas y nada, a la segunda ni le hice caso, pero en la tercera… por ahí dicen que la tercera es la vencida!

El número natural n es tal que 2n+1 y 3n+1 son cuadrados perfectos, es posible que el número 5n+3 sea primo ?

Aclaración: Siempre consideraré que los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5 , … es decir,no considero al 0.

Para los curiosos… cómo se vería el enunciado en ruso…[seleccionen desde acá]Натуральное число n таково, что числа 2n+1 и 3n+1 являются квадратами. Может ли при этом число 5n+3 быть простым?[hasta acá]

enero 9, 2008

Comparando números grandes

Filed under: General — Matemática @ 6:13 pm

A ver cómo les va con este problema que saqué de la Gazeta Matemática, de Rumania; este problema estaba dirigido a alumnos de 6to y 7mo grado de escolaridad. En este problema no hay límites de tiempo, ni reglas como en los Problemas Semanales, el que quiere comenta o sube su solución…¿se animan?

¿ Cuál de los siguientes dos números es mayor: 2^{54} ó (3^{35}-3^{34}) ?


enero 8, 2008

Cómo escribir las fórmulas matemáticas: LaTeX

Filed under: LaTeX — Matemática @ 5:24 pm

Como algunos habrán notado, en los comentarios han aparecido cosas como E_1, 3^2, m, \ldots etc, que a decir verdad se ven (y se entienden mejor) que E_1, 3^2, m. Esto es porque son fórmulas que están en LaTeX, un procesador de textos que es usado actualmente en todo el mundo (no solamente por los matemáticos por cierto). Si desean saber más del LaTeX, pueden ver este artículo

El propósito de este post es que aprendan lo básico del LaTeX, lo necesario para poder escribir algunas fórmulas simples en sus comentarios, y que de esta forma, sus comentarios sean más entendibles. Si quieren aprender más del LaTeX pueden buscar en internet, encontrarán manuales, ayudas, trucos, etc, lo ideal sería que se bajen el programa para que practiquen y hagan ustedes mismos sus documentos, yo comence así, aunque no me fue fácil conseguir mi primer documento, aprendí poco a poco. Un ejemplo de lo que se puede hacer con LaTeX es mi libro, yo mismo lo digité 🙂 .

Bueno, cuando quieran incluir una formula matematica en sus comentarios deben escribir lo siguiente:

codigo

(Importante: Después de la palabra latex tienen que dejar un espacio antes de escribir el código, si lo escriben junto no les saldrá nada)

donde en vez de [codigo] van a escribir el código en LaTeX correspondiente. A continuación verán unos ejemplos, que son los que creo que son los más comunes.

Si en vez de [codigo] escriben:

(Importante: Noten que estoy reemplazando la frase [codigo], osea que ya no deben poner corchetes en sus fórmulas) 

E_1 obtendrán E_1.

E_12 obtendrán E_12. Seguramente el resultado no era lo que esperaban, lo correcto sería:

E_{12} obtendrán E_{12}.

a_{m+n} obtendrán a_{m+n}.

a^b obtendrán a^b.

2^112 obtendrán 2^112 pasa lo mismo que los subíndices, lo correcto sería

2^{112} obtendrán 2^{112}

52^{m+p-55} obtendrán 52^{m+p-55}.

a_n^b obtendrán a_n^b. (se puede combinar los subíndices con los superíndices también).

\frac{a}{b} obtendrán \frac{a}{b}.

\frac{m+n-p}{2008-n} obtendrán \frac{m+n-p}{2008-n}.

\frac{1-\frac{2}{5}}{2} obtendrán \frac{1-\frac{2}{5}}{2}.

(después iré colocando más ejemplos)

Pueden enviar sus comentarios, usando el codigo LaTeX, en este post a manera de práctica.

tapa de un libro de uno de los creadores del LaTeX

enero 6, 2008

Enunciados, Semana 2

Filed under: problemas semanales — Matemática @ 3:34 pm

Disculpen si no les pude contestar a sus comentarios estos dos últimos días, me encuentro ahora en el IMPA, en Brasil, así que desde ahora seguiré con el blog pero desde otra ciudad, espero que sigan con el mismo entusiasmo que he notado en las siguientes ediciones de los problemas semanales.

He recibido algunos problemas para ser incluidos en los problemas semanales, pero me he dado cuenta que me falto poner algo en el reglamento, que me envien no solo el enunciado si no también la solucón, pueden ver la modificaciõn que hice en Reglamento, Problemas Semanales más abajo, ahi también pongo los motivos de la modificación.

Ahora, los enunciados, pero se darán cuenta que en el fondo se trata de un solo problema, más general.

La función f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} es estrictamente creciente (es decir, f(1)<f(2)<f(3)<\cdots<f(n)<\cdots ), además, para todo número natural n se cumple que f(f(n)= 3n.

2.1 Calcule los valores de f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6) y f(7).

2.2 Para cada número natural k, calcule el valor de f(3^k). Además, demuestre que todas las potencias de 3 pertenecen a la imagen de la función f.

2.3 Calcule el valor de f(20)+f(100).

Aclaración: Decimos que el número natural m pertenece a la imagen de la función f, si podemos encontrar un número natural n tal que f(n)=m.

enero 3, 2008

Soluciones, Semana 1

Filed under: problemas semanales,soluciones — Matemática @ 1:15 am

Las soluciones no serán visibles directamente, para que los nuevos visitantes no vean las soluciones antes de intentar los problemas.

Por ahora, subó las soluciones del 1.1 y 1.3, quiero darle un poco más de tiempo a la solución del 1.2, no he visto una solución convincente aún, pero se nota que lo están intentando.

Pueden ver la soluciones en el siguiente enlace: Soluciones, Semana 1.

Actualización 1: He comenzado a escribir la solución del 1.2… pero…vean en el enlace lo que hay ahora… ¿alguien se anima?

Actualización 2: Ya complete la solución del 1.2, así que ya están completas las soluciones de la Semana 1.

elefante en origami

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