Demostración sin palabras… I

Una bonita demostración geométrica:

Prueba

\left( \frac{1}{4}\right) +\left( \frac{1}{4}\right)^2+\left( \frac{1}{4}\right)^3+\cdots=\frac{1}{3}

 

Claro que faltan algunos detalles… pero se dan cuenta qué es lo que está pasando ?

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Tres números en P.A cuyo producto sea un cuadrado

Otro problemita de Rusia, esta vez de 1989:

Hallar tres números naturales distintos que estén en progresión aritmética y que su producto sea un cuadrado perfecto.

Lo más probable es que encuentren soluciones distintas, quiero ver varias soluciones!! (claro que también sería bueno que escriban cómo llegaron a su solución)

Enunciados, Semana 3

Pueden hacer en cualquier momento consultas acerca de los enunciados, pueden escribir sus soluciones a partir del 19 de enero.

3.1 El número natural n tiene exactamente dos divisores positivos, y el número n+1 tiene exactamente tres divisores positivos. ¿ Cuántos divisores positivos tiene n+2 ?

3.2 Definamos la sucesión (a_n), n\geq 0 de la siguiente forma:

a_0=0

a_{k+1}=3a_k+1, k\geq 0.

¿ Cuál es el resto de dividir el número a_{155} entre 33 ?

3.3 ¿ Cuántas fracciones irreductibles de la forma \displaystyle \frac{a}{b} cumplen las siguientes dos condiciones:

  • 0< \frac{a}{b}<1.
  • a\cdot b=20! . ?

Aclaración: El número 20! denota el producto de los 20 menores números naturales, es decir, 20!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots19\cdot20.

    La página de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Nuevo León

    Buscando una página en donde estén las Notas de Olimpiadas de Pedro Sánchez (alias drini) llegué a la página de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Nuevo León, no es la página de él, pero lo importantes es que podrán encontrar sus tres notas de Olimpiadas: Geometría, Teoría de Números y Combinatoria. Estas notas son muy recomendables para comenzar en las olimpiadas matemáticas, contienen teoría y ejercicios que van aumentando en dificultad.

    Para acceder a las notas tienen que entrar a Material.

    Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Nuevo León

    Cerro de la silla ???

    Soluciones, Semana 2

    Por ahora, ya escribí las soluciones de los problemas 2.1 y 2.2. La solución que escribí del 2.2 es esencialmente la misma que la de Virgilio Failoc, le hice algunas modificaciones.

    Las soluciones pueden verlas en la parte derecha (en Enlaces Internos) o aquí.

    [Actualización: Ya están completas las soluciones de la Semana 2] 

    Reparto Pirata

    Este es un problema de la OMA (Olimpiada MAtemática Argentina) del 2004, a ver cómo les va con Morgan y sus piratas.

    La ley pirata establece que para repartir las monedas de un tesoro el capitán debe elegir un grupo de piratas y repartir equitativamente las monedas entre los piratas elegidos hasta que no haya suficientes para darle una más a cada uno. Las monedas sobrantes son la parte del capitán. Morgan debe repartir un tesoro con menos de 1000 monedas de oro. El sabe que si elige 99 piratas se quedará con 51 monedas y si elige 77 piratas le corresponderán sólo 29 monedas.
    Determinar cuántos piratas debe elegir Morgan para quedarse con la mayor cantidad de monedas respetando la ley pirata, y para esa cantidad de piratas, cuántas monedas le corresponden a Morgan.

    ACLARACIÓN: Los piratas elegidos deben recibir por lo menos una moneda cada uno.

    Morgan