Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

enero 31, 2008

Enunciados, Semana 5

Filed under: problemas semanales — Matemática @ 9:33 am

Los problemas de esta semana son todos Problemas 1 de la Olimpiada Matemática del Cono Sur (en la que participan Argentina, Brasil, Chile, Ecuador, Bolivia, Uruguay, Paraguay y Perú) :

[Pueden subir sus soluciones a partir del 4 de febrero] 

5.1) El entero positivo N tiene 1994 cifras. De estas, 14 son iguales a cero y los números de veces que aparecen las demás cifras: 1,2,3,4,5,6,7,8,9, están en la razón 1:2:3:4:5:6:7:8:9, respectivamente.
Demostrar que N no es un cuadrado perfecto.

5.2) A cada número entero positivo n, n \leq 99, le restamos la suma de los cuadrados de sus cifras. ¿Para qué valores de n esta diferencia es la mayor posible?

5.3) Hallar el menor entero positivo n tal que las 73 fracciones:

\displaystyle \frac{19}{n+21}, \frac{20}{n+22}, \frac{21}{n+23}, \cdots, \frac{91}{n+93}

sean todas irreductibles.

P.D 1. Resultó una coincidencia que los tres problemas tengan una variable n.

P.D 2. las soluciones de la Semana 4 la subiré en unos días, pues alguien me pidió un poco más de tiempo… y sigo esperando sus comentarios acerca de los Problemas Semanales.

16 comentarios »

  1. disculpe amigo Tipe le hago una sugerencia:
    cuando muestre los problemas no diga de donde es ya que las personas que lo ven muchas veces se desanimarian pensando que es muy dificil;le sugiero que diga de donde es cuando muestra la solucion.

    Comentario por gustavo — enero 31, 2008 @ 4:29 pm | Responder

  2. Con estos problemas la reacción que espero es todo lo contrario a lo que tu dices, pongo este problemas para que vean que no hay que tener miedo a los problemas de olimpiadas (como el de la Cono Sur, o una ONEM por ejemplo), uno no debería a ir una prueba con miedo de los problemas si no los has visto. La idea que tengo es que al resolver los problemas se animen a seguir resolviendo , y se den cuenta que los problemas que vienen en Olimpiadas Internacionales ustedes también los pueden resolver. De hecho, he puesto problemas más difíciles que estos en los problemas semanales, por ejemplo el de los elefantes.

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 1, 2008 @ 6:16 am | Responder

  3. Solución 5.3)
    [Editado, las soluciones se pueden subir a partir del 4 de febrero]

    Comentario por RMC — febrero 2, 2008 @ 9:43 pm | Responder

  4. Saludos a todos.
    Solucion

    5.1) N: es de 1980 cifras diferentes de cero, y sabemos que 11…..1 se repite k veces; 22…..2 se repite 2k veces; haci hasta 99….9 , 9k veces, no necesariamente en ese orden, vemos que el numero de cifras es k+2k+\ldots+9k=45k entonces 45k=1980 entonces k=44.
    Bien, si x es múltiplo de 3 entonces x^2 es múltiplo de 9 entonces al sumar los dígitos de N, si N es múltiplo de 3 pero no de 9, concluimos que N no puede ser cuadrado perfecto.
    Sumemos las cifras de N, N=k+2(2k)+3(3k)+\ldots+9(9k)
    Que es igual a N=3\times5\times 19\times k=3\times 5\times44 y N es múltiplo de 3 mas no de 9, por lo tanto N no puede ser cuadrado perfecto.
    5.2) n\leq99 entonces n tiene que ser mayor que 9, pues si no fuera así tendríamos n=a a-a^2 es menor que 0.
    Entonces n=ab (significa numeral ab, no producto) según el enunciado:
    10a+b-a^2-b^2 debe ser lo máximo posible, vemos que si b es mayor que 2, la expresión no sería máxima, entonces b=1 o 0 , y en ambos casos siempre queda 10a+-a^2 y ese expresión es igual a -(a-5)^2+25 para que sea max. Debe ser la parte negativa igual a 0, es decir a=5 de donde los únicos valores para n es 50 y 51.
    5.3) Sea (a,b)=1 el máximo común divisor (mcd) demostrare que (a,b-a)=1 para a<b para eso diremos que \frac{a}{b} es irreductible entonces, \frac{b}{a} sigue siendo irreductible, si le restamos 1 a dicha fracción quedaría \frac{b-a}{a} invirtiendo nuevamente tenemos \frac{a}{b-a} es irreductible es decir (a,b-a)=1 .
    Entonces haciendo lo mismo en la expresión quedaría: \frac{19}{n+2} , \frac{20}{n+2} \frac{91}{n+2} , y todas son irreductibles.
    Llamemos a n+2=a es decir: \frac{19}{a} , \frac{20}{a} \frac{91}{a} .
    Entonces el mínimo valor de a debe ser un numero primo mayor a 91, que es 97, entonces a=n+2=97 , por lo tanto el mínimo valor de n=95 .
    Comprobación: \frac{19}{116} , \frac{20}{117} \frac{91}{188} , restando 1 a cada expresión tenemos \frac{-97}{116} \frac{-97}{117} …. \frac{-97}{188} , pues sigue siendo irreductible(97.2=194

    Att Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — febrero 4, 2008 @ 7:16 pm | Responder

  5. J. Tipe, un gran favor, puede modificar los errores cometidos al enviar mi comentario, le agradesco mucho.
    Att Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — febrero 4, 2008 @ 7:18 pm | Responder

  6. En 5.3) por qué a debe ser un número primo?, me parece que faltan justificar algunas cosas antes de conluir eso

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 4, 2008 @ 7:25 pm | Responder

  7. MMM… te refieres cuando digo: “Entonces el mínimo valor de a debe ser un numero primo mayor a 91, que es 97” , pues todas las fracciones \frac{19}{a} , \frac{20}{a} \frac{91}{a} . son irreductibles pues si a es menor que 19, con una de las fracciones se tendra que simplificar, pues hay 73 fracciones, y si a es mayor que 91, obvio que no puede ser multiplo de 2,3,5,7…,89 pues se simplificaria con alguna fraccion, entonces a debe ser un primo(pues si fuera compuesto no seria irreductible) mayor que 89 (creo que ahi me equivoque,puse mayor que 91) y sabemos que el minimo primo mayor que 89 es 97.

    Espero haber explicado.
    Att. Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — febrero 4, 2008 @ 8:01 pm | Responder

  8. Buen dia

    Estas son mis soluciones

    5.1 Según el enunciado hay 14 cifras que son iguales a cero, como n tiene 1994 cifras, hay 1980 cifras que no son iguales a cero.
    Luego nos dice: Los números de veces que aparecen las cifras: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 están en la razón 1:2:3:4:5:6:7:8:9 respectivamente.
    Esto da ha entender que: k + 2k+3k+ \cdots +7k+8k+9k = 1980 , lo cual es un reparto proporcional donde k=44
    Luego calculemos la suma de cifras de n
    44(1+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2)
    Lo cual es igual a:
    44 \cdot \displaystyle \frac {9 \cdot (9+1) \cdot  (2 \cdot  9+1)}{6} = 44 \cdot 285  , esta suma de cifras es múltiplo de tres y no de nueve, ya que 285 es múltiplo de tres y no de nueve.
    Por lo tanto n no es un cuadrado perfecto ya que si es divisible por 3 tambien tendria que ser divisible por 9 , porque un cuadrado perfecto si tiene como divisor a d que no es cuadrado perfecto, también tendrá como divisor a d^2

    5.2 Primero si n tiene una sola cifra se tendra:

    n-n^2 =n(1-n) , maximizando esta expresión con n=1 , resulta 0

    Si n tiene dos cifras se tiene:

    n= \overline{ab}
    \therefore \overline{ab} - ( a^2 + b^2 ) = a(10 - a) + b(1- b) , luego solo tenemos que maximizar estos dos sumandos que dependen cada uno de una variable.
    a(10-a) , esta expresión se maximiza con a=5 y resulta 25
    b(1-b) , esta expresión se maximiza con b=0 o b=1 y resulta 0
    Luego tenemos que la expresión completa para dos cifras es como máximo 25

    Por lo tanto lo pedido se maximiza cuando n tiene dos cifras y es igual a 50 o 51

    5.3 Primero estas fracciones se definen de forma general como:

    f = \displaystyle \frac {m+18}{m + n +20}= \displaystyle \frac {m+18}{(m + 18) +(n +2)} , 1 \leq  m \leq  73 , donde m pertenece a los enteros
    De aquí podemos observar que tanto el numerador como el denominador pertenecen a una progresión aritmética de razón 1 y que tendrán al menos un traslape en cuanto a multiplicidad se refiere para números menores o iguales que 89 , en \dot{k+2} cuando n=k , 1 \leq  k \leq  89 , por otro lado m+18 y n+2 , deben ser primos entre si para que las fracciones sean irreductibles.

    Dicho todo esto busquemos un número que no comprometa en cuanto a multiplicidad se refiere a los anteriores ya analizados, este número es el primer número primo superior a n+2=91 , osea es n+2=97 , que es primo entre si con los anteriores analizados

    \therefore n=95

    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre

    Comentario por ALEX AGUIRRE — febrero 5, 2008 @ 9:05 am | Responder

  9. Alex y Virgilio: siguiendo sus soluciones, aun no me queda del todo claro porque n+2 debe ser un número primo. Qué hubiese pasado si les piden hallar el menor n (natural) para el cual las fracciones \displaystyle \frac{19}{n+2}, \frac{20}{n+2} son irreductibles??… acaso n+2 debe ser el menor primo mayor que 20 ????
    Aún no veo argumentos claros en sus soluciones.

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 5, 2008 @ 12:47 pm | Responder

  10. Buen dia

    EN LA PARTE FINAL EXPLICO BUSQUEMOS UN NUMERO QUE NO COMPROMETA EN CUANTO A MULTIPLICIDAD SE REFIERE A LOS ANTERIORES YA ANALIZADOS
    ESTE NUMERO BUSCADO INDICO QUE DEBE SER MAYOR DE 89 Y NO NESESARIAMENTE DEBE DE SER PRIMO CLARO QUE EN ESTE CASO COINCIDE QUE ES PRIMO
    Me explico
    m+18 y n+2 deben de ser primo entre si
    COMO m+18 es como máximo 91 todos los primos (n+2) de aquí en adelante harían que las fracciones sean irreductibles ahora el primer numero primo osea 97 , superior a 91 podría ser el mínimo n que cumpla, para descartar analizamos del 91 hasta el 97 y es obvio que: 92, 93,94, 95, 96 harían que hayga fracciones irreductibles
    luego el mínimo n+2 es 97

    \therefore n=95

    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre

    Comentario por ALEX AGUIRRE — febrero 6, 2008 @ 10:57 am | Responder

  11. Disculpen los errores del post pasado.

    Hola aca va mi solucion al problema #3

    sea m=n+2 (notar que m no puede ser par)
    Entonces la expresion del enunciado se convierte en:
    \displaystyle \frac{19}{m+19}, \frac{20}{m+20}, \cdots, \frac{91}{m+91} …(I)

    Para resolver este problema usare los siguientes lemas:

    Lema 1:
    Para todo numero natural se cumple:
    (a,b)=(a,b+ax).

    Lema 2:
    Si (a,m)=(b,m)=1, entonces (ab,m)=1 en este problema usare la generalizacion de este teorema (Aun me falta estudiar latex).

    Lema 3:
    Entre n numeros consecutivos existe uno que multiplo de n.

    En primer lugar usare el equivalente de fraccion irreductible.
    entonces la expresion(I) se puede ver como:

    (m, m+19)=1, (m, m+20)=1,\ldots ,(m,m+91)=1
    Por el Lema 1 tenemos:
    (m,19)=1, (m,20)=1,\ldots ,(m,91)=1
    por el Lema 2 tenemos:

    (m,\prod_{j=19}^{91}j)=1…(II)

    Analizare los posible valores de m.
    Caso 1: m\le19
    Este caso hacemos uso del lema3.
    de la siguiente manera como m m\le19 m va compartir divisores con los 73 numeros.

    Caso 2 : 19  91 entonces tenemos que los posibles valores minimos de m son 93, 95, 97. Desmostrare que 97 es el minimo.

    Supongamos que m = 93 como 93 es no es primo este comparte factores con algunos de los numeros menores que 93. con lo cual m no satifizaria nuestra condicion.

    Si m = 95 tendria un factor 5 con lo que quedaria descartado.

    entonces m = 97 cumple nuestras condiciones puesto que 97 es un numero primo.( Era necesario que el numero sea primo por la parte II, puesto que si no lo fuera tendria numeros primos en descomposicion(TFA: Teorema Fundamental de la Aritmetica) y con lo cual quedaria descartado).
    como m = n+2.
    \therefore n=95

    Nota: 1) Despues posteo las pruebas de los lemas.

    Comentario por Edgar — febrero 6, 2008 @ 12:15 pm | Responder

  12. Edgar, no es necesario que demuestres los lemas.. pero veo un error (quizas los escribiste mal) en el análisis por casos, el Caso 2 dice “1991 entonces…” , parece que te refieres a 19 < m < 91.

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 6, 2008 @ 12:44 pm | Responder

  13. si me referia ha ese caso. Creo que deje un espacio en al final del codigo latex y lo demas no salio.
    Debia decir:

    Caso2: 19<m91
    entonces…

    Comentario por Edgar — febrero 6, 2008 @ 3:07 pm | Responder

  14. Si tu caso 2 se refiere a 19 < m < 91, por qué defrente analizas para los valores mayores que 91 ??… lo correcto sería decir que en el caso que 19 < m < 91 se cumple que alguna de las fracciones sería \displaystyle \frac{m}{m+m}, que no es irreductible.

    Comentario por Jorge Tipe — febrero 6, 2008 @ 3:14 pm | Responder

  15. amigo tipe deje mi solucion aki pero ya desaparecio, seguro anda mal la paginaa!

    Comentario por Emerson Soriano — octubre 1, 2009 @ 10:17 pm | Responder

  16. colega tipe, deje mi solucion x aki sobre la de fracciones irreductibles y ya no aparece, seguro algo anda mal n la paginaa!

    Comentario por Emerson Soriano — octubre 1, 2009 @ 10:18 pm | Responder


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