Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

enero 24, 2008

Enunciados, Semana 4

Filed under: problemas semanales — Matemática @ 10:14 am

Es hora de los enunciados de la Semana 4, por ahora no tengo mucho tiempo para subir las soluciones de la Semana 3, en cuanto tenga oportunidad lo hago. Pueden escribir sus soluciones a partir del 28 de enero.

4.1 Se tienen 19 pesas distintas de 1 g, 2 g, 3 g, …, 19 g. Nueve son de acero, nueve son de bronce y una es de oro. Se sabe que el peso total de las pesas de acero es 90 g superior al peso total de las pesas de bronce. Hallar el peso de la pesa de oro.

Pesas

4.2 Consideremos el número A= 1111111111-22222.

a) Demuestre que A es un cuadrado perfecto.

b) Determine el resto de dividir \sqrt{A} entre 9.

4.3 Sea \alpha la mayor raíz de la ecuación

x^2+x-1=0

Calcule el valor de \alpha ^{10}+55\alpha.

14 comentarios »

  1. Había cometido un error en el 4.2, gracias Ervin por hacerlo notar, ahora sí está corregido.

    Comentario por Jorge Tipe — enero 26, 2008 @ 7:22 pm | Responder

  2. Aqui estan mis soluciones:
    [Editado: por favor, lee las reglas si aun no las has leido, además escribí claramente que a partir del 28, osea que a partir de mañana. ]
    [Lamento ser estricto, pero la idea no es subir la solución inmediatamente, piensa en los demás que recién ven los enunciados……….Jorge Tipe]

    Comentario por brian — enero 27, 2008 @ 1:38 pm | Responder

  3. [Soluciones de brian:] 4.1. Sea:
    a:peso total de las pesas de acero
    b:peso total de las pesas de bronce
    c:peso de la pesa de oro
    Entonces:
    a+b+c=1+2+3+…+19=190
    El menor peso posible de 9 pesas es:
    1+2+3…+9=45,por consiguiente,
    b\geq45……….(1)
    El mayor peso posible de 9 pesas es:
    11+12+…+19=135,entonces,
    135\leq a
    pero por dato sabemos que:
    a=b+90
    luego
    135\leq b+90
    45\leq b………..(2)
    De (1) y (2) obtenemos:
    b=45;a=135 por lo tanto
    c=190-(45+135)=10
    RESPUESTA: La pesa de oro pesa 10g.
    4.2. a) 1111111111=11111.100000+11111
    =11111(10000+1)
    =11111.100001
    Entonces:
    1111111111-22222=11111.100001-2.11111
    A =11111(100001-2)
    A =11111.99999
    A =11111.9.11111
    \sqrt{A} =(11111)(3) A=(33333) l.q.q.d

    b)Sabemos que:
    \sqrt{A} =33333
    entonces:
    La raiz cuadra de A es:
    33333
    luego: 33333= 9k+6
    Por lo tanto,el resto de dividir la raiz cuadrada de A entre 9 es 6.
    El problema 4.3 aun no llego a su solucion.

    Comentario por Jorge Tipe — enero 28, 2008 @ 9:21 am | Responder

  4. Saludos a todos, aqui mando mi solucion.
    Solucion
    4.1) Sea a_i  el peso de las pesas de acero y b_j  el peso de las pesas de bronce, y X el peso de la de acero.
    Sabemos que (a_1+a_2+\cdots+a_9)-(b_1+b_2+\cdots+b_9)=90
    Y también sabemos que (a_1+a_2+\cdots+a_9+b_1+b_2+\cdots+b_9+X)=190
    Por lo tanto 2(a_1+a_2+\cdots+a_9)+X=280
    Y también 2(b_1+b_2+\cdots+b_9)+X=100
    Sabemos que X es par por lo tanto X=2k
    (a_1+a_2+\cdots+a_9)+k=140
    (b_1+b_2+\cdots+b_9)+k=50
    Vemos que la suma de 10 números enteros es 50, demostrare que no existe algún 10 \leq b_j , sin salir del tema, la hipótesis es 10 \leq b_9 , entonces sumando a ambos miembros (b_1+b_2+\cdots+b_8)+k , quedaría (b_1+b_2+\cdots+b_8)+k \leq 40 , entonces en los mejores de los casos, la suma mínima de 8 números es 1+2+3+\cdots+8=36 por lo tanto k \leq 4 por lo tanto X puede valer {2,4,6,8}, que son utilizados en la suma anterior, por lo tanto no puede existir ese X.
    Por lo tanto b_9 \leq 10 y 4 \leq k .
    Ahora, demostrare que no existe algún a_j=10 , sin salir del tema, la hipótesis es a_1=10 entonces (a_2+\cdots+a_9)+k=130
    En el mejor de los casos, la suma mínima y máxima de 8 números entre 10 y 19, es : 11+12+13+\cdots+18=116 y 12+13+\cdots+19=124 en el primer caso quedaría k=14, que sería X=28(no existe) … en el segundo que k=6 y X=12, que ah sido usado en la suma anterior, y así varien los números quedaría siempre que X=2k , ya ah sido usado en dicha suma, entonces X=10
    4.2) En una forma general, quedaría , A=\frac{10^{2n}-1}{9} - 2 \frac{10^{n}-1}{9}
    Eso es igual a A= \frac{10^{2n}-2\times10^{n}+1}{9} que es A= (\frac{10^{n}-1}{3})^2  que en el problema es un caso particular, para n=5 , donde A es un cuadrado perfecto.
    (10^5-1) \div 3 =33333 el residuo entre 9 seria 6.
    4.3) Sabemos que \alpha es \frac{-1+\sqrt{5}}{2} elevando al cuadrado y simplificando tenemos: \alpha^2 es \frac{3-\sqrt{5}}{2} otra vez elevando al cuadrado, tenemos \alpha^4 es \frac{7-3\sqrt{5}}{2} , nuevamente quedaría \alpha^8 es \frac{47-21\sqrt{5}}{2} ahora multiplicando por \alpha^2 tenemos \alpha^{10} es \frac{73-55\sqrt{5}}{2} y 55\alpha es \frac{-55+55\sqrt{5}}{2} sumado con \alpha^{10} queda 9
    Si tengo algun error, por favor haganme saber.
    Att. Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — enero 28, 2008 @ 4:04 pm | Responder

  5. Virgilio, no entiendo bien tu solución de 4.1, y además, mi respuesta del 4.3 no concuerda con la tuya, revísala por favor.

    P.D. Para la próxima no uses \fraq para las fracciones, lo correcto es \frac.

    Comentario por Jorge Tipe — enero 28, 2008 @ 6:13 pm | Responder

  6. Buen dia
    Un favor amigo Tipe puse mal lo de x_{10} osea en vez de poner x_{10} puse sin darme cuenta x_10 y salio por eso x_10 por favor corríjalo
    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre

    Comentario por Alex Aguirre — enero 28, 2008 @ 7:48 pm | Responder

  7. Se puede resolver la 4.3 sin necesidad de escribir raices, usando:
    a^2 = 1 - a
    Y me parece que la solucion es la misma para las 2 raices de la ecuacion.

    Comentario por Roy — enero 28, 2008 @ 8:02 pm | Responder

    • Es la misma idea que tuve, luego de reemplazar y reducir me obtuve 34 como respuesta.

      Comentario por Ramfis — julio 10, 2013 @ 5:30 pm | Responder

  8. Buen dia
    Mil disculpas amigo Tipe estoy seguro de que debe de ser aburrido borrar comentarios
    Es por que estoy aprendiendo recién esto del Latex
    Por favor borre todos mis anteriores comentarios este lo revise varias veces
    espero no molestarlo mucho

    Estas son mis soluciones
    4.1 Según el enunciado:
    W_{acero}= W_{bronce}+90 , teniendo en cuenta que los pesos de las pesas van desde 1g hasta 19g. Hallemos: (W_{acero})_{min} y (W_{acero})_{max} para acotar este valor.
    (W_{acero})_{min} = 90+(W_{bronce})_{min}=90 +(1+2+ \cdots +8+9) esta parte es bien clara ya que necesariamente para que el peso total de todas las pesas de bronce sea minimo deben de ser las 9 primeras pesas teniendo en cuenta el orden creciente.
    Entonces se tiene:
    (W_{acero})_{min} = 90+45=135g
    (W_{acero})_{max} = 11+12+ \cdots +18+19=135g esta parte tambien es bien clara ya que necesariamente para que el peso total de todas las pesas de acero sea maximo deben de ser las 9 ultimas pesas teniendo en cuenta el orden creciente.
    \Longrightarrow 135g \leq W_{acero}\leq 135g
    Luego se tiene W_{acero}= 135g ; por consiguiente W_{bronce}= 45g
    Por otro lado:
    W_{total}= W_{bronce}+ W_{acero}+ W_{oro} = 1+2+ \cdots +18+19 = 190
    Reemplazando:
    190= 45+135+ W_{oro}
    \therefore W_{oro}=10g

    4.2 Parte A)
    Transformando A
    A=1111111111-22222
    A=11111 \cdot 10^5+11111-2 \cdot 11111
    A=11111 \cdot (10^5-1)
    A=11111 \cdot 99999
    A=11111^2 \cdot 3^2
    \therefore A=33333^2

    Parte B)
    \sqrt{A}= \sqrt{33333^2}=33333
    Luego de esto la respuesta esta dada por el resto de 33333 \div 9
    Descomponiendo polinómicamente
    33333=3 \cdot 10^5+3 \cdot 10^4+3 \cdot 10^3+3 \cdot 10^2+3 \cdot 10^2+3 \cdot 10+3
    Aplicando multiplicidad por 9
    33333=3 \cdot (\dot{9}+1)+3 \cdot (\dot{9}+1)+3 \cdot (\dot{9}+1) +3 \cdot (\dot{9}+1)+3 \cdot (\dot{9}+1)+3
    33333=3 \cdot (\dot{9}+1)+3 = \dot{9}+6
    \therefore El residuo es 6

    4.3 primero hallemos las raíces con la formula general para ecuaciones cuadráticas
    x_1= \displaystyle \frac {-1+ \sqrt{5}}{2} , x_2= \displaystyle \frac {-1- \sqrt{5}}{2}
    x_1> x_2
    Entonces:
    \alpha = x_1 = \displaystyle \frac {-1+ \sqrt{5}}{2} ; 0 < \alpha < 1 \cdots (I) muy importante
    De: x^2+x-1=0 , dividiendo entre x \neq 0 se tiene:
    \displaystyle \frac {1}{x}-x=1 \cdots (II)
    De (II)^2 se tiene:
    \displaystyle \frac {1}{x^2}+x^2=3 \cdots (III)
    De (II) \cdot (III) se tiene:
    \displaystyle \frac {1}{x^3}- x^3-( \displaystyle \frac {1}{x}-x) =3 \cdots (IV)
    De (II) en (IV) se tiene:
    \displaystyle \frac {1}{x^3}- x^3=4 \cdots (V)
    De (III) \cdot (V) se tiene:
    \displaystyle \frac {1}{x^5}- x^5+ \displaystyle \frac {1}{x}-x =12 \cdots (VI)
    De (II) en (VI) se tiene:
    \displaystyle \frac {1}{x^5}- x^5=11 \cdots (VII)
    De (VII)^2 se tiene:
    \displaystyle \frac {1}{x^{10}}+x^{10}=123 \cdots (VIII)
    Multiplicando (VIII) por \cdot x^{10} , x^{10} \neq 0 se tiene:
    (x^{10})^2-123x^{10}+1=0
    Hallemos las raíces con la formula general para ecuaciones cuadráticas
    (x^{10})_1= \displaystyle \frac {123+ 55 \sqrt{5}}{2} , (x^{10})_2= \displaystyle \frac {123-55 \sqrt{5}}{2}
    Tenemos dos valores
    Pero de (I) sabemos que 0 < \alpha < 1 , por lo tanto \alpha ^{10} también debe estar dentro de este intervalo
    Luego se tiene:
    \alpha ^{10}=(x^{10})_2= \displaystyle \frac {123-55 \sqrt{5}}{2} \cdots (IX)
    Pero nos piden: \alpha^{10} +55 \alpha \cdots (X)
    De (I) y (IX) en (X) se tiene:
    \alpha^{10} +55 \alpha = \displaystyle \frac {123-55 \sqrt{5}}{2}+55 \cdot (\displaystyle \frac {-1+ \sqrt{5}}{2})
    Finalmente
    \therefore \alpha^{10} +55 \alpha = 34

    Siento aburrirlos con largos procedimientos sino que solo trato de explicar de tal manera que se sepa de donde salio todo
    La verdad en clase se puede hablar más y escribir menos pasos.

    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre

    Comentario por Alex Aguirre — enero 28, 2008 @ 8:10 pm | Responder

  9. en mi comentario final debi colocar un solo puntito y no tres

    Comentario por Alex Aguirre — enero 28, 2008 @ 8:41 pm | Responder

  10. Alex, ya borre el comentario que dijiste y corregí el último.

    Roy, puedes escribir tu solución de la 4.3 ?, seguro que la forma que tú dices es más corta.

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — enero 29, 2008 @ 8:51 am | Responder

  11. Esta es una solucion para la 4.3
    Como \alpha es raiz de la ecuacion entonces \alpha^2+\alpha-1=0 \Longrightarrow \alpha^2=1-\alpha
    Ahora, debemos hallar \alpha^{10}+55\alpha, vamos a bajarle el grado reemplazando sucesivamente \alpha^2:
    \alpha^{10}+55\alpha=(\alpha(\alpha^2)^2)^2+55\alpha=(\alpha(1-\alpha)^2)^2+55\alpha=(\alpha(1-2\alpha+\alpha^2))^2+55\alpha
    \alpha^{10}+55\alpha=(\alpha(2-3\alpha))^2+55\alpha=(2\alpha-3\alpha^2)^2+55\alpha=(5\alpha-3)^2+55\alpha
    \alpha^{10}+55\alpha=25\alpha^2-30\alpha+9+55\alpha=25-25\alpha-30\alpha+9+55\alpha
    \alpha^{10}+55\alpha=34
    Esto quiere decir que no importaba que \alpha sea la mayor raiz de la ecuacion, ya que la respuesta es la misma para ambas raices.

    Comentario por Roy — enero 29, 2008 @ 9:44 am | Responder

  12. Antes de que suba los neunciados de la Semana 5, entren aquí: https://onemperu.wordpress.com/2008/01/25/soluciones-semana-3/

    Comentario por Jorge Tipe — enero 29, 2008 @ 11:29 am | Responder

  13. Bueno al comentario 5, para el problema 4.1) disculpen que no pueda explicar mas, y aqui va la solucion al fatal error que cometi en el 4.3).

    Solucion:

    4.3) Sabemos que \alpha es \frac{-1+\sqrt{5}}{2} elevando al cuadrado y simplificando tenemos: \alpha^2 es \frac{3-\sqrt{5}}{2} otra vez elevando al cuadrado, tenemos \alpha^4 es \frac{7-3\sqrt{5}}{2} , nuevamente quedaría \alpha^8 es \frac{47-21\sqrt{5}}{2} ahora multiplicando por \alpha^2 tenemos \alpha^{10} es \frac{123-55\sqrt{5}}{2} y 55\alpha es \frac{-55+55\sqrt{5}}{2} sumado con \alpha^{10} queda \frac{68}{2} entonces \alpha^{10}+55\alpha es 34

    Att. Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — enero 30, 2008 @ 4:38 pm | Responder


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