Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

enero 15, 2008

El primer problema de Geometría

Filed under: General,retos — Matemática @ 8:52 am

El título lo dice todo, a ver cómo les va con la geometría. Este problema es de la Olimpiada de Matemática de India, 1995.

Sea ABC un triángulo acutángulo con \angle A=30^{o}. Sea H el ortocentro del triángulo y M el punto medio de BC, además, el punto T se escoge de tal forma que M sea el punto medio de HT. Demostrar que AT=2\cdot BC.

ind19951.png

5 comentarios »

  1. 1. Sabemos que T pertenece a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC (deducción directa del paralelogramo BHCT: TC perpend. a CA y TB perpend. a BA)
    2. Si O es el circuncentro, es directo que A, O y T son colineales y m<BOC = 60º
    3. luego AO = BO = CO = TO = BC, de donde sigue que AT = AO + TO = BC + BC = 2BC

    Comentario por Pepe_el_Loco — enero 17, 2008 @ 10:56 am | Responder

  2. Muy buena solución! , solo quisiera agregar algo para los que no vieron porqué BHCT es paralelogramo. Como BM=MC, MH=MT y \angle BMH=\angle CMT, los triángulos BMH y CMT son congruentes, luego \angle HBM =\angle TCM y por eso BH y TC son paralelos. (análogamente con el otro par de lados opuestos)

    Comentario por Jorge Tipe — enero 18, 2008 @ 8:25 am | Responder

  3. BHCT ES UN ROMBIDE ENTONCES EL CUADRILATERO ABTC ES CONCICLICO LUEGO AT ES DIAMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CUERDA BC SUSTENTA UN ARCO DE DE 60º QUIERE DECIR QUE ES EL LADO DE UN EXAGONO REGULAR Y DICHO LADO ES EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA ENTONCES COMO AT ES EL DIAMETRO YA ESTA DEMOSTRADO QUE GUARDAN LA RELACION DE 1 A 2

    Comentario por MAXIMO SANCHEZ — agosto 5, 2008 @ 11:04 pm | Responder

  4. seria interesante formar un grupo de personas a quienes le apasionen la gemetria para poder intercambiar problemas soluciones

    Comentario por gino — marzo 17, 2009 @ 11:37 am | Responder

  5. buenas noches amigos, yo recién me inicio en el mundo de las matemáticas , y ya he leído grandiosos libros del tema, pero como muchos principiantes y algunos de experiencia, no sabemos como empezar ha resolver problemas, que por cierto, creo ,y he demostrado que lo que nos enseñan algunos libros son continuadores de la misma cosa y no hay innovación del como debemos proceder para empezar a matar un problema o qué preguntas debemos hacernos antes de reslver ciertos problemas del tipo general, quisiera de veras que quisiera que me diga usted y sus amigos lectores de mucha experiencia y comentarios de principiantes el como , reitero, ejecutar a un problema.

    gracias

    Comentario por kiker — abril 12, 2009 @ 11:43 pm | Responder


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