Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

enero 11, 2008

Reparto Pirata

Filed under: General,retos — Matemática @ 6:31 pm

Este es un problema de la OMA (Olimpiada MAtemática Argentina) del 2004, a ver cómo les va con Morgan y sus piratas.

La ley pirata establece que para repartir las monedas de un tesoro el capitán debe elegir un grupo de piratas y repartir equitativamente las monedas entre los piratas elegidos hasta que no haya suficientes para darle una más a cada uno. Las monedas sobrantes son la parte del capitán. Morgan debe repartir un tesoro con menos de 1000 monedas de oro. El sabe que si elige 99 piratas se quedará con 51 monedas y si elige 77 piratas le corresponderán sólo 29 monedas.
Determinar cuántos piratas debe elegir Morgan para quedarse con la mayor cantidad de monedas respetando la ley pirata, y para esa cantidad de piratas, cuántas monedas le corresponden a Morgan.

ACLARACIÓN: Los piratas elegidos deben recibir por lo menos una moneda cada uno.

Morgan

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8 comentarios »

  1. Virgilio, puede usar \equiv para que te salga \equiv, por ejemplo así, 2 \equiv 12 (mod 5), o si no 2 \equiv 12 \mbox{(mod 5)}.
    Preferirías que borre alguno de tus comentarios anteriores?, me avisas.

    Comentario por Jorge Tipe — enero 13, 2008 @ 2:02 pm | Responder

  2. Si, borra los anteriores,va otra vez.

    Solucion:

    Llamemos a X la cantidad de monedas que tiene Morgan, “t” como lo que recibirán los 99 piratas y “q” lo que recibirán los 77 ; planteamos la ecuación de tal forma ah llegar a saber “X”
    X<1000 X=99t+51 ….(1) X=77q+29 …..(2) primero sumemos ambas expresiones, luego las restamos .
    Sumando (1)+(2), 2X=11(7q+9t)+80  y restando (2)-(1) tenemos 22=11(7q-9t)  simplificando 2=7q-9t ….. (3) sabemos que 2X=11(7q+9t)+80<2000  lo que queda en un aprox. 7q+9t<175 sumando con 3 tenemos 14q<177 que es lo mismo q<12  hacemos el mismo proceso, tenemos t<9 .
    7q-2=9t 7q \equiv  2  \mbox{mod(9)} lo que es lo mismo 7q \equiv 56 \mbox{mod(9)} simplificando tenemos q \equiv 8 \mbox{mod(9)} y como q<12  por lo tanto q vale 8, entonces t vale 6…. Por lo tanto reemplazando en cualquiera, (1) o (2) tenemos que X=645 .
    Bien ahora llamemos a “r” el numero de piratas, “t” lo que recibirá cada pirata y “X” como lo máximo que puede recibir Morgan, en la ecuación 645=rt + X_{max}.
    Sabemos que “t” tiene que ser mínimo… por lo tanto t es 1, en resumen tenemos 645=r + X_{max}.  vemos que 645 puede ser expresado como la suma de 323+322 ahora la única solución para el problema es r=323 y X_{max}=322

    Att. Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — enero 13, 2008 @ 8:16 pm | Responder

  3. Vaya el ejercicio cre poder resolverlo usando ecuaciones diof{anticas y algunas desigualdades. No domino mucho la escritura de mi resoluci{on en latex(la verdad no se como usar eso) pero voy a intentar escribir mi resolución

    Comentario por JUAN CARLOS — enero 14, 2008 @ 3:24 pm | Responder

  4. [E_1]

    Comentario por XXX — enero 14, 2008 @ 3:32 pm | Responder

  5. Como ya lo había dicho antes, no son necesarios los corchetes.
    E_1.

    Comentario por Jorge Tipe — enero 14, 2008 @ 3:48 pm | Responder

  6. Bueno aui va mi resolución:
    llamamos k al númerok de monedas totales, k<1000; ahora denominemos p y q al número de monedas que recibieron los piratas en el primer y segundo caso respectivamente. luego K=99p+51=77q+29 , desarrollamos: 99p+22=77q.entre 11: 9p+2=7q(una ecuación diofántica) de donde p=6+t_1 y q=8+t_2 para algún entero t_1 y t_2 Las soluciones son infinitas.
    Ahora trabajando con desigualdades:
    (K=99p+51=77q+29)<1000 . de donde p<9,59 y q<12,6. Luego los únicos valores enteros positivos que cumplen estas condiciones son.
    p=6 y q=8, luego K=645.

    ahora, para que Morgan reciba mas monedas los piratas deben recibir solo una moneda y deben ser el número m{axima de piratas posibles:
    llamemos a este n{umero de piratas “r”, luego K=2r-1 y M(las monedas que recibirá Morgan)sería: M=r-1.
    Ahora solo queda igualar:
    645=2r-1 -) r=323 y M= r-1= 323-1=322.
    Por lo tanto, Morgan debe elegir 323 piratas y así se quedará con 322 monedas.

    Comentario por JUAN CARLOS — enero 14, 2008 @ 3:49 pm | Responder

  7. Si algui{en sabe m{as acerca de ecuaciones diofánticas, me aviza donde encontrar esa información. Me gusta la Aritmética y creo que soy bueno en esa rama de las matemáticas. GRACIAS

    Comentario por JUAN CARLOS — enero 14, 2008 @ 3:53 pm | Responder

  8. puedes encontrar más ecuaciones diofánticas en las Notas de Aritmética que se encuentran en el enlace que puse hace poco: Las Olimpiadas Matemáticas en Nuevo León.

    Comentario por Jorge Tipe — enero 15, 2008 @ 9:00 am | Responder


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