Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

enero 10, 2008

5n+3 puede ser es primo?

Filed under: General,retos — Matemática @ 7:00 pm

Otro problema, esta vez más interesante que el anterior. El de ahora es de la Olimpiada Matemática Rusa de 1993. Debo confesar que la primera vez que me encontré con este problema, no me salió, intenté muchas cosas y nada, a la segunda ni le hice caso, pero en la tercera… por ahí dicen que la tercera es la vencida!

El número natural n es tal que 2n+1 y 3n+1 son cuadrados perfectos, es posible que el número 5n+3 sea primo ?

Aclaración: Siempre consideraré que los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5 , … es decir,no considero al 0.

Para los curiosos… cómo se vería el enunciado en ruso…[seleccionen desde acá]Натуральное число n таково, что числа 2n+1 и 3n+1 являются квадратами. Может ли при этом число 5n+3 быть простым?[hasta acá]

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6 comentarios »

  1. alguien tiene alguna idea?

    Comentario por Jorge Tipe — enero 11, 2008 @ 6:18 pm | Responder

  2. Mejor no sigo intentando, si a Tipe le salio a la tercera a mi me saldra a la 10ma(si me sale), de repente a alguien le salga con estas pistas que obtuve, las conclusiones a las que he llegado son 3:

    1) Los 5n + 3 del problema no tienen factores en comun, en otras palabras no serviria tratar de demostrar que 5n + 3 es multiplo de 7 o 29, si es que encontraron el n=40.

    2) Parece que n es multiplo de 40

    3) Cada n es casi 100 veces mayor(o 99) que el n anterior.

    Y estas son las pistas:

    n = 40 = 40 * 1
    2n + 1 = 81 = 9 * 9
    3n + 1 = 121 = 11 * 11
    5n + 3 = 203 = 7 * 29

    n = 3960 = 40 * 99
    2n + 1 = 7921 = 89 * 89
    3n + 1 = 11881 = 109 * 109
    5n + 3 = 19803 = 3 * 7 * 23 * 41

    n = 388080 = 40 * 9702
    2n + 1 = 776161 = 881 * 881
    3n + 1 = 1164241 = 1079 * 1079
    5n + 3 = 1940403 = 3 * 683 * 947

    n = 38027920 = 40 * 950698
    2n + 1 = 76055841 = 8721 * 8721
    3n + 1 = 114083761 = 10681 * 10681
    5n + 3 = 190139603 = 6761 * 28123

    n = ???, se muere mi compu si lo calculo

    Comentario por Roy Palacios — enero 11, 2008 @ 6:27 pm | Responder

  3. Sea 2n+1 = x^2 y 3n+1 = y^2
    Luego 5n+3 = 4(2n+1) - (3n+1)
    Reemplazando: 5n+3 = 4x^2 - y^2
    $latex 5n+3 = (2x-y)(2x+y)

    …continuen la solución…

    Comentario por Jery — enero 11, 2008 @ 7:26 pm | Responder

  4. disculpa Tipe pero si puedes borra los anteriores coment. por el exceso de errores:(, para el prob.
    2n+1=a^2, 3n+1=b^2, 5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=(2a-b)(2a+b), para q sea primo 2a-b=1, 2a=b+1, elevando al 2, 4(2n+1)=(3n+1)+2b+1, entonces b=(5n+2)/2, entonces (5n+2)^2=4(3n+1), 25n^2+8n=0 pero n es natural luego no se da. ahora si, saludos y suerte.

    Comentario por Cesar Cuenca — enero 11, 2008 @ 10:20 pm | Responder

  5. Lo acabo de ver y solo se me ocurrio probar los numeros , probe y me salio 40 y probe que que si remplazo 40 en 5n + 3 me salio 203 lo cual es cierto … disculpe pero esa puede ser una forma valida de resolucion ?

    Comentario por Paola — enero 13, 2008 @ 9:13 am | Responder

  6. Paola: Esa forma no es válida pues solo estás mostrando que 5n+3 no es primo para n=40, de hecho, parece que hay infinitos n para los cuales 2n+1 y 3n+1 son cuadrados perfectos, Roy encontró 4 de estos números (mira el comentario 2).

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — enero 13, 2008 @ 9:24 am | Responder


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