Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

enero 6, 2008

Enunciados, Semana 2

Filed under: problemas semanales — Matemática @ 3:34 pm

Disculpen si no les pude contestar a sus comentarios estos dos últimos días, me encuentro ahora en el IMPA, en Brasil, así que desde ahora seguiré con el blog pero desde otra ciudad, espero que sigan con el mismo entusiasmo que he notado en las siguientes ediciones de los problemas semanales.

He recibido algunos problemas para ser incluidos en los problemas semanales, pero me he dado cuenta que me falto poner algo en el reglamento, que me envien no solo el enunciado si no también la solucón, pueden ver la modificaciõn que hice en Reglamento, Problemas Semanales más abajo, ahi también pongo los motivos de la modificación.

Ahora, los enunciados, pero se darán cuenta que en el fondo se trata de un solo problema, más general.

La función f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} es estrictamente creciente (es decir, f(1)<f(2)<f(3)<\cdots<f(n)<\cdots ), además, para todo número natural n se cumple que f(f(n)= 3n.

2.1 Calcule los valores de f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6) y f(7).

2.2 Para cada número natural k, calcule el valor de f(3^k). Además, demuestre que todas las potencias de 3 pertenecen a la imagen de la función f.

2.3 Calcule el valor de f(20)+f(100).

Aclaración: Decimos que el número natural m pertenece a la imagen de la función f, si podemos encontrar un número natural n tal que f(n)=m.

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17 comentarios »

  1. No comentan porque están claros los enunciados? están intentando…?

    Comentario por Jorge Tipe — enero 7, 2008 @ 5:42 pm | Responder

  2. ¿Debo conciderar al cero como natural o no ?

    Comentario por Jesus Figueroa — enero 7, 2008 @ 8:22 pm | Responder

  3. considera que no, es decir, que los naturales son 1, 2, 3, 4,\ldots .

    Comentario por Jorge Tipe — enero 8, 2008 @ 4:00 pm | Responder

  4. cuando el problema dice f(f(n))=3n
    se puededecir que f(f(n)) es obligatoriamente de grado uno.

    Comentario por gustavo — enero 9, 2008 @ 3:51 pm | Responder

  5. En ningun lugar te dicen que f es un polinomio, puede ser que lo sea, como puede que no. Así que no tiene sentido de que hables de grado. La condición dice simplemente que f(f(1))=1, f(f(2))=6, f(f(3))=9, \ldots, etc.

    Comentario por Jorge Tipe — enero 9, 2008 @ 4:44 pm | Responder

  6. [Editado por Jorge Tipe: Aún no es tiempo de que subas tu solución, a partir de mañana por favor. Mañana yo mismo copio denuevo tu solución]
    [Ahora sí:]
    Buen día estas son mis soluciones:

    1.1 Sea f una función creciente y dado el dato f(f(n)) = 3n y, asumiendo que todos los números naturales poseen imagen.
    Calculemos primero f(1)

    Supongamos f(1) = 0
    Ahora tratemos de hacer cumplir el dato: f(f(n)) = 3n
    Reemplazando lo supuesto
    f(f(1)) = 3(1) = 3, entonces f(0) = 3, luego f(0) mayor que f(1)
    Lo cual no seria correcto ya que por dato f es creciente

    Supongamos f(1) = 1
    Ahora tratemos de hacer cumplir el dato: f(f(n)) = 3n
    Reemplazando lo supuesto
    f(f(1)) = 3(1) = 3, entonces f(1) = 3, lo cual contradice a lo supuesto

    Supongamos f(1) = 2
    Ahora tratemos de hacer cumplir el dato: f(f(n)) = 3n
    Reemplazando lo supuesto
    f(f(1)) = 3(1) = 3, entonces f(2) = 3, luego f(2) mayor que f(1)
    Lo cual es correcto ya que por dato f es creciente

    Supongamos f(1) = 3
    Ahora tratemos de hacer cumplir el dato: f(f(n)) = 3n
    Reemplazando lo supuesto
    f(f(1)) = 3(1) = 3, entonces f(3) = 3
    Lo cual no es correcto ya que por dato f es creciente

    Por lo tanto f(1) = 2

    A partir de este valor , asumiendo que todos los naturales poseen imagen y haciendo cumplir que f es creciente calculamos los valores pedidos.

    f(1) = 2
    f(2) = 3
    f(3) = 6
    f(4) = 7
    f(5) = 8
    f(6) = 9
    f(7) = 12

    1.2 Calculemos más valores para definir f

    f(1) = 2
    f(2) = 3
    f(3) = 6
    f(4) = 7
    f(5) = 8
    f(6) = 9
    f(7) = 12
    f(8) = 15
    f(9) = 18
    f(10) = 19
    f(11) = 20
    f(12) = 21
    f(13) = 22
    f(14) = 23
    f(15) = 24
    f(16) = 25
    f(17) = 26
    f(18) = 27
    f(19) = 30
    f(20) = 33
    f(21) = 36
    f(22) = 39
    f(23) = 42
    f(24) = 45
    f(25) = 48
    f(26) = 51
    f(27) = 54
    f(28) = 55
    f(29) = 56
    f(30) = 57
    f(31) = 58
    f(32) = 59
    f(33) = 60
    f(34) = 61
    f(35) = 62
    f(36) = 63
    f(37) = 64
    f(38) = 65
    f(39) = 66
    f(40) = 67
    f(41) = 68
    f(42) = 69
    f(43) = 70
    f(44) = 71
    f(45) = 72
    f(46) = 73
    f(47) = 74
    f(48) = 75
    f(49) = 76
    f(50) = 77

    A partir de estos datos generalizamos un f(m)
    Sea m un número natural tal que:
    m mayor o igual que 3^(n) y m menor o igual que 3^(n + 1)

    Se define:

    f(m) = 3^n + m; m mayor o igual que 3^(n) y m menor o igual que 2*3^(n)

    f(m) = 3(m – 3^n); m mayor que 2*3^(n) y m menor o igual que 3^(n + 1)

    n es entero y mayor o igual que 0

    Observemos que si:

    m = 3^(k) ; f(m) = 3^k + 3^(k) = 2*3^(k) ; esta es la respuesta a la primera parte

    Cuando m tiene la forma:

    m = 2*3^(n) ; f(m) = 3^n + 2*3^(n) = 3^(n + 1) ; y como n toma desde 0, todas las potencias de 3 serán imágenes.

    1.3 Pide calcular f(20) + f(100):

    Según lo definido 20 mayor o igual que 3^(n) y 20 menor o igual que 3^(n + 1)
    Entonces 20 esta entre 3^2 y 3^3 ; 20 mayor que 2*3^2

    Entonces aplicamos:

    f(m) = 3(m – 3^n); m mayor que 2*3^(n) y m menor o igual que 3^(n + 1)
    f(20) = 3(20 – 3^2) = 33

    Según lo definido 100 mayor o igual que 3^(n) y 100 menor o igual que 3^(n + 1)
    Entonces 100 esta entre 3^4 y 3^5 ; 100 menor que 2*3^4

    Entonces aplicamos:

    f(m) = 3^n + m; m mayor o igual que 3^(n) y m menor o igual que 2*3^(n)
    f(100) = 3^4 + 100 = 181

    por lo tanto:

    f(20) + f(100) = 33 + 181 = 214

    Disculpen si no hay mucha explicación o si hay errores.

    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre

    Comentario por ALEX AGUIRRE — enero 9, 2008 @ 4:57 pm | Responder

  7. Disculpen por los intentos de solucion arriba, me fallò el manejo de latex.

    Solucion

    Llamemos a f(1)=k tenemos que f(k)=3 f(3)=3k f(3k)=9  f(9)=9k y f(9k)=27
    Ahora sabemos que 0<f(1)<f(2)<f(3) y vemos que cada f(n)  es entero y si k es mayor que 3, tendríamos que dos son iguales …. contradiciendo el enunciado.
    Solo hay 3 posibilidades, analicemos:
    * K=1, obtenemos f(1)=1 y f(1)=3 contradicción.
    * K=2 , obtenemos soluciones correctas.
    * K=3, tenemos f(3)=3 y f(3)=9 contradicción.
    Por lo tanto f(1)=2 tenemos que f(2)=3 f(3)=6 f(6)=9  f(9)=18 y f(18)=27
    1.1) Para hallar f(4),f(5) es fácil darse cuenta que 6<f(4)<f(5)<9 entonces tomando los valores apropiados f(4)=7,f(5)=8
    Y reemplazando en la ecuación general, n por 4 obtenemos f(7)=12.
    1.2) Demostraremos que f(3^n)=3^{n}*2 para eso en la ecuación general reemplazamos n por 3^n obtenemos f(3^n * 2)=3^{n+1} , nuevamente reemplazamos en la ecuación general n por 3^n*2 obtenemos f(3^{n+1})=3^{n+1} ….. Por lo tanto concluimos que para todo K f(3^k)=2*3^k
    Ahora también nos hemos dado cuenta que para obtener todas las potencias de 3 pertenezcan a la imagen de la función f es simplemente reemplazar n por 3^n obtenemos f(3^n * 2)=3^{n+1} .
    1.3) Si seguimos reemplazando en la ecuación general n por 8 obtenemos f(8)={15} , ahora n por 7 obtenemos f({12})={21} y por observación f(9)=18<f({10})<f({11})<f({12})={21} entonces con los valores apropiados f({10})={19}, f({11})={20} reemplazando n por 11 obtenemos f({20})={33} .
    Ahora la idea para llegar a f(100) es similar a la anterior llegar ah intervalos en las funciones para llegar a un f(100)=k y luego obtener su valor.
    Si reemplazamos n por 12 tenemos f({21})=36 ,seguimos con ese proceso, n por 20 tenemos f(33)=60  , similar n por 21 f(36)=63  ahora como en los anteriores dando valores apropiados f(34)={61}  f(35)=62  , reemplazando n por 33 obtenemos f(60)=99  y por 34 tenemos f(61)=102  , seguimos n por 60 f(99)=180  n por 61 tenemos f(102)=183 vemos que f(99)<f(100)<f(101)<f(102) reemplazando con los valores apropiados es: f(100)=181
    Ahora f(20)+f(100) es 181+33=214

    Si tengo algun error, por favor haganme saber.

    Att. Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — enero 10, 2008 @ 10:09 am | Responder

  8. Alex.. al parecer la fución si es como tú dices, el problema es que has llegado a ella de la forma inadecuada.
    Por ejemplo: comienzas analizando f(1), te fijas que f(1) no puede ser 0 (aunque no era necesario), luego que no puede ser 1. Cuando analizas si f(1) puede ser 2, no llegas a ninguna contradicción, eso no te garantiza que f(1) es 2, luego que f(1) no puede ser 3, y ahí te quedas… pero f(1) podría ser 4, podría ser 5 ??, eso ni lo mencionas, ni demuestras porque no puede ser esos valores.
    Por otro lado, cuando dices:
    A partir de este valor , asumiendo que todos los naturales poseen imagen y haciendo cumplir que f es creciente calculamos los valores pedidos.

    f(1) = 2
    f(2) = 3
    f(3) = 6
    f(4) = 7
    f(5) = 8
    f(6) = 9
    f(7) = 12

    quizás esos son los valores adecuados, pero tienes que explicar cómo los obtuviste (no se explican a menos que sean muy obvios… y este no es el caso).
    También, cuando generalizas: ” A partir de estos datos generalizamos un f(m) “… estas aplicando la Falsa Inducción… es decir, obtienes un resultado general a partir dela observación resultados particulares, en la verdadera Inducción hay que demostrar que tu generalización es correcta.

    Comentario por Jorge Tipe — enero 10, 2008 @ 1:04 pm | Responder

  9. Virgilio: Revisa con cuidado tu solución de la 1.2, el reemplazo que mencionas al inicio no me convence.

    Comentario por Jorge Tipe — enero 10, 2008 @ 1:11 pm | Responder

  10. BUEN DIA
    QUERIDO AMIGO JORGE TIPE, EN MI CASO SOY UN PROFESOR DE LOS ANDES PROFUNDOS DONDE APENAS CONOCEMOS COMPUTADORA Y TENEMOS QUE PAGAR BASTANTE POR UNAS HORAS DE ESTE SERVICIO Y DE INTERNET LO CUAL HACE QUE RAPIDAMENTE SIN MUCHA EXPLICACION COLOQUE MIS SOLUCIONES PERDONE POR ESTOS INCONVENIENTES TRATARE DE DAR MAS EXPLICACION EN LO POSTERIOR
    SALUDOS CORDIALES
    PROF.: ALEX AGUIRRE RIVERA

    Comentario por ALEX AGUIRRE RIVERA — enero 10, 2008 @ 8:45 pm | Responder

  11. BUEN DIA
    AMIGO JORGE TIPE ES USTED MUY AMABLE POR LOS COMENTARIOS EN LO POSTERIOR SERE MAS CLARO
    SALUDOS CORDIALES
    PROF.:ALEX AGUIRRE

    Comentario por ALEX AGUIRRE RIVERA — enero 10, 2008 @ 8:54 pm | Responder

  12. Si está bien que en lo posterior expliques más, vale el esfuerzo que estás haciendo.

    Comentario por Jorge Tipe — enero 11, 2008 @ 8:34 am | Responder

  13. Creo que no explique bien.

    1.2) Demostrare por inducción que f(3^n)=3^{n}*2 , esta forma lo deduce de la forma general y por eso lo voy a demostrar por inducción, para n=1 f(3)=6 que es correcto, ahora para demostrar que también existe f(3^{n+1})=3^{n+1}*2 reemplazaremos n en la ecuación general por 3^n obtenemos f(3^{n}*2)=3^n+1  volvemos a reemplazar n por 3^{n}*2 tenemos f(3^{n+1})=3^{n+1}*2  de donde queda demostrado que existe f(3^k)=3^k*2 , de donde hallamos la forma general; ahora también vemos que f(3^{n}*2)=3^n+1  y llamemos a que (3^{n}*2)=p  Por lo tanto que f(p)=3^n+1  de donde también demostramos que cada potencia de tres es la imagen de la función f .
    Espero que me hallan comprendido, gracias.

    Att. Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — enero 11, 2008 @ 10:41 am | Responder

  14. Disculpen por el comentario anterior, espero que este este bien.

    1.2) Demostrare por inducción que f(3^n)=3^{n}*2 , esta forma lo deduce de la forma general y por eso lo voy a demostrar por inducción, para n=1 f(3)=6 que es correcto, ahora para demostrar que también existe f(3^{n+1})=3^{n+1}*2 reemplazaremos n en la ecuación general por 3^n obtenemos f(3^{n}*2)=3^n+1  volvemos a reemplazar n por 3^{n}*2 tenemos f(3^{n+1})=3^{n+1}*2  de donde queda demostrado que existe f(3^k)=3^k*2 , de donde hallamos la forma general; ahora también vemos que f(3^{n}*2)=3^{n+1}  y llamemos a que (3^{n}*2)=p  Por lo tanto que f(p)=3^{n+1}  de donde también demostramos que cada potencia de tres es la imagen de la función f .
    Espero que me hallan comprendido, gracias.
    Att. Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — enero 13, 2008 @ 12:19 pm | Responder

  15. Hola profesor Tipe, esta es mi solucion de porque f(1) es necesariamente 2:
    Partamos de lo siguiente: f(n)<n , para todo “n” natural
    Aplicando la funcion: f(f(n))<f(n)
    3n<f(n)
    pero como f(n)<n entonces: 3nn , lo cual con el mismo procedimiento anterior si cumple.
    Entonces concluimmos que: f(n)>n
    Haremos lo mismo con : f(n)>3n para todo “n” natural
    Aplicando la funcion :f(f(n))>f(3n)
    3n>f(3n)
    pero como f(n)>3n entonces: f(n)>f(3n)
    lo cual es una contradiccion ya que “f” es creciente
    Ahora plantearemos que f(n)<3n lo cual aplicando los pasos anteriores si cumple
    Entonces tenemos: f(n)n
    Para n=1 tenemos que :f(1)1
    Con lo cual f(1) es 2 dado que “f” es una funcion de N en N

    Comentario por willam v. m. — enero 13, 2008 @ 2:47 pm | Responder

  16. Disculpen los errores anterions pero lo que quise decir al final fue:
    ENTONCES TENEMOS :f(n)>n, f(n)1, f(1)<3
    Con lo cual f(1) es 2 dado que “f” es una funcion de N en N.

    Comentario por willam v. m. — enero 13, 2008 @ 2:51 pm | Responder

  17. William, lamentablemente tengo que contradecirte en algo, como demostraste que f(n)<n no se puede cumplir, lo correcto sería afirmar que necesariamente se cumple que f(n)\geq n.

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — enero 13, 2008 @ 4:17 pm | Responder


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