Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

diciembre 26, 2007

Enunciados, Semana 1

Filed under: problemas semanales — Matemática @ 9:43 pm

Si aún no han leído las reglas, léanlas más abajo, en el post anterior.

Comienzo de esta forma con la primera entrega de los Problemas Semanales, espero que les gusten y se diviertan resolviéndolos. No se olviden que los primeros cuatro días, a partir de la hora de publicación de este post, solo pueden hacer consultas sobre los enunciados de los problemas. !Qué les vaya bien con los problemas!

P.D. Seguiré la siguiente numeración de los problemas: M.N indica el problema del nivel N de la Semana M.

1.1 Consideremos la siguiente expresión: 
                           | 1#2#3#4#…#2006#2007 | 
 tenemos que reemplazar cada símbolo #  por un + o por un – . ¿Cuál es el menor número que se puede conseguir luego de hacer estos reemplazos?

Aclaración: Las barras ” | | ” indican valor absoluto.

1.2 Quince elefantes están en una fila. Sus pesos están expresados por un número entero de kilogramos. La suma del peso de cada elefante (a excepción del que está más adelante) con el doble del peso del elefante que está delante de él es exactamente 15 toneladas. Determine el peso de cada elefante.

1.3 Halle el mayor número d, que divide a  todos los números de la forma n(n+1)(2n+1996), donde n es un número natural.

para que se hagan una idea del 1.2 :)

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24 comentarios »

  1. Buen dia.
    Lo felicito por la publicacion de los problemas, tengo una consulta en el problema 1.2 del enunciado, dice “Sus pesos están expresados por un número entero de kilogramos. La suma del peso de cada elefante con el doble del peso del elefante que está delante de él es exactamente 15 toneladas.”.
    Segun ese enunciado, no seria conveniente que el peso de cada elefante sea un numero entero de toneladas, para que las respuestas sean mas precisas.

    Otra consulta, en el problema 1.3(que corresponde a mi nivel 🙂 ) el enunciado “n” ¿puede asumir todos lo valores enteros?

    Gracias por su atencion, y espero su pronta respuesta

    Comentario por Virgilio Failoc — diciembre 28, 2007 @ 1:28 pm | Responder

  2. Para el 1.2:
    No, los pesos de los elefantes están expresados por un número entero de kilogramos. Recuerda que 15 toneladas son 15000 kilogramos.

    Para el 1.3:
    n asume todos los números naturales (1,2,3,4,5,…)

    ¿quedó aclarado?

    Comentario por Jorge Tipe — diciembre 28, 2007 @ 2:17 pm | Responder

  3. ¿Cómo les va con los problemas?, ¿están muy difíciles?

    Comentario por Jorge Tipe — diciembre 28, 2007 @ 7:15 pm | Responder

  4. Ok. muchas gracias, ya me despejo de mis dudas.

    Saludos.

    Comentario por Virgilio Failoc — diciembre 28, 2007 @ 9:35 pm | Responder

  5. gracias, por empezar con este proyecto.

    Comentario por gustavo — diciembre 28, 2007 @ 10:12 pm | Responder

  6. Ummm….Gracias por los ejercicios y por el proyecto, parece que tienen cierto grado de dificultad. Estoy intentando resolver los ejercicios, pero creo necesitar un poco de ayuda. soy un alumno de nivel “2”

    Comentario por Juan Carlos — diciembre 29, 2007 @ 4:20 pm | Responder

  7. Disculpe, podria explicar mejor el ejercicio de nivel 2.GRACIAS

    Comentario por Juan Carlos — diciembre 29, 2007 @ 4:43 pm | Responder

  8. Juan Carlos:
    A mi parecer el enunciado está claro, pero para ayudarte tienes que decirme que parte no entiendes, así te podré ayudar mejor.

    Saludos

    Comentario por Jorge Tipe — diciembre 30, 2007 @ 12:35 am | Responder

  9. Buen Dia:
    Quisiera saber si ya se puede enviar nuestras soluciones…. con respecto al problema 1.2(que es complicado)yo lo eh echo empleando desigualdades…quisiera saber si estoy empleando lo correcto…..
    Gracias

    Comentario por Virgilio Failoc — diciembre 31, 2007 @ 11:51 am | Responder

  10. Buen día:

    Estas son mis soluciones:

    1.1 Solución:

    | 1#2#3#4#…#2006#2007 |

    Reemplazando adecuadamente # por +,- se tiene:
    obtuve como resultado cero lo hize en un gif bien bonito con llavecitas pero no se puede colgar gif espero que pronto se pueda

    Mil disculpas por no dar las explicaciones completas

    1.2 Solución:

    Sean: E1, E2, E3,…, E14, E15 los pesos en toneladas de los elefantes

    Según los datos:

    2E1 + E2 = 15 entonces E2 = 15 – 2E1 < 15
    2E2 + E3 = 15 entonces E3 = 4E1 – 15 < 15
    2E3 + E4 = 15 entonces E4 = 45 – 8E1 < 15
    2E4 + E5 = 15 entonces E5 = 16E1 – 75 < 15 ; luego E1 < 6…………..I
    2E5 + E6 = 15 entonces E6 = 165 – 32E1 4…………II
    2E6 + E7 = 15
    .
    .
    .
    2E14 + E15 = 15

    Finalmente de I , II y las demás ecuaciones se concluye que: E1=E2=…..=E14=E15=5toneladas

    Mil disculpas por no dar las explicaciones completas

    1.3 Halle el mayor número d, que divide a todos los números de la forma n(n+1)(2n+1996), donde n es un número natural.

    Solución:

    n(n+1)(2n+1996)= 2n(n+1)(n+2)+ 2n(n+1)996
    El primer sumando es múltiplo de 12 ya que contiene a 2 como factor, tiene tres números seguidos que al menos uno será par y uno será múltiplo de tres
    Se razona similar en el segundo sumando
    Finalmente la respuesta seria d = 12.

    Mil disculpas por no dar las explicaciones completas

    Saludos Cordiales
    Prof.: Alex Aguirre Rivera

    Comentario por ALEX AGUIRRE RIVERA — diciembre 31, 2007 @ 11:57 am | Responder

  11. Buen día:

    Estas son mis soluciones:

    1.2 Quince elefantes están en una fila. Sus pesos están expresados por un número entero de kilogramos. La suma del peso de cada elefante (a excepción del que está más adelante) con el doble del peso del elefante que está delante de él es exactamente 15 toneladas. Determine el peso de cada elefante.

    Solución:

    Sean: E1, E2, E3,…, E14, E15 los pesos en toneladas de los elefantes

    Según los datos:

    2E1 + E2 = 15 entonces E2 = 15 – 2E1 < 15
    2E2 + E3 = 15 entonces E3 = 4E1 – 15 < 15
    2E3 + E4 = 15 entonces E4 = 45 – 8E1 < 15
    2E4 + E5 = 15 entonces E5 = 16E1 – 75 < 15 ; luego E1 < 6…………..I
    2E5 + E6 = 15 entonces E6 = 165 – 32E1 4…………II
    2E6 + E7 = 15
    .
    .
    .
    2E14 + E15 = 15

    Finalmente de I , II y las demás ecuaciones se concluye que: E1=E2=…..=E14=E15=5toneladas

    Mil disculpas por no dar las explicaciones completas

    1.3 Halle el mayor número d, que divide a todos los números de la forma n(n+1)(2n+1996), donde n es un número natural.

    Solución:

    n(n+1)(2n+1996)= 2n(n+1)(n+2)+ 2n(n+1)996
    El primer sumando es múltiplo de 12 ya que contiene a 2 como factor, tiene tres números seguidos que al menos uno será par y uno será múltiplo de tres
    Se razona similar en el segundo sumando
    Finalmente la respuesta seria d = 12.

    Mil disculpas por no dar las explicaciones completas

    Saludos Cordiales
    Prof.: Alex Aguirre Rivera

    Comentario por ALEX AGUIRRE RIVERA — diciembre 31, 2007 @ 12:01 pm | Responder

  12. Buen dia
    Disculpen asi esta mejor el segundo
    1.2 Quince elefantes están en una fila. Sus pesos están expresados por un número entero de kilogramos. La suma del peso de cada elefante (a excepción del que está más adelante) con el doble del peso del elefante que está delante de él es exactamente 15 toneladas. Determine el peso de cada elefante.

    Solución:

    Sean: E1, E2, E3,…, E14, E15 los pesos en toneladas de los elefantes

    Según los datos:

    2E1 + E2 = 15 entonces E2 = 15 – 2E1 < 15
    2E2 + E3 = 15 entonces E3 = 4E1 – 15 < 15
    2E3 + E4 = 15 entonces E4 = 45 – 8E1 < 15
    2E4 + E5 = 15 entonces E5 = 16E1 – 75 < 15 ; luego E1 < 6…………..I
    2E5 + E6 = 15 entonces E6 =165 – 32E1 4…………II
    2E6 + E7 = 15
    .
    .
    .
    2E14 + E15 = 15

    Finalmente de I , II y las demás ecuaciones se concluye que: E1=E2=…..=E14=E15=5toneladas

    Mil disculpas por no dar las explicaciones completas

    Saludos Cordiales
    Prof.: Alex Aguirre Rivera

    Comentario por ALEX AGUIRRE RIVERA — diciembre 31, 2007 @ 12:07 pm | Responder

  13. buen dia
    Disculpen esto del envio no se puede hacer correctamente todos los signos no salen correctamente por favor si podria ser con editor de rtf seria mejor:

    mi solucion para el primer y segundo ejercicio no sale correctamente.

    1.2 Solución:

    Sean: E1, E2, E3,…, E14, E15 los pesos en toneladas de los elefantes

    Según los datos:

    2E1 + E2 = 15 entonces E2 = 15 – 2E1 < 15
    2E2 + E3 = 15 entonces E3 = 4E1 – 15 < 15
    2E3 + E4 = 15 entonces E4 = 45 – 8E1 < 15
    2E4 + E5 = 15 entonces E5 = 16E1 – 75 < 15 ; luego E1 < 6…………..I
    2E5 + E6 = 15 entonces E6 = 165 – 32E1 4……II
    2E6 + E7 = 15
    .
    .
    .
    2E14 + E15 = 15

    Finalmente de I , II y las demás ecuaciones se concluye que: E1=E2=…..=E14=E15=5toneladas

    Mil disculpas por no dar las explicaciones completas

    Comentario por ALEX AGUIRRE RIVERA — diciembre 31, 2007 @ 12:13 pm | Responder

  14. 1.2 Solución:

    Sean: E1, E2, E3,…, E14, E15 los pesos en toneladas de los elefantes

    Según los datos:

    2E1 + E2 = 15 entonces E2 = 15 – 2E1 < 15
    2E2 + E3 = 15 entonces E3 = 4E1 – 15 < 15
    2E3 + E4 = 15 entonces E4 = 45 – 8E1 < 15
    2E4 + E5 = 15 entonces E5 = 16E1 – 75 < 15 ; luego E1 menor que 6…………..I
    2E5 + E6 = 15 entonces E6 = 165 – 32E1 < 15 ; luego E1 mayor que 4……II
    2E6 + E7 = 15
    .
    .
    .
    2E14 + E15 = 15

    Finalmente de I , II y las demás ecuaciones se concluye que: E1=E2=…..=E14=E15=5toneladas

    Mil disculpas por no dar las explicaciones completas

    Comentario por ALEX AGUIRRE RIVERA — diciembre 31, 2007 @ 12:14 pm | Responder

  15. Concuerdo con la soluci{on del ejrecicio 1.1 Ya que el menor valor entero que puede tomar un valor absoluto es cero(0),para que se cumpla, debe haber dos cantidades de valor absoluto igual, una positiva y otra negativa, luego ese valor absoluto sera. 2007×2008/4=1007514. Lo que faltaria es demostrar que se puede obtener esa suma con numeos con signo + , y los demas sumaran igual pero con signo -.

    Comentario por JUAN CARLOS — diciembre 31, 2007 @ 12:48 pm | Responder

  16. Hola te felicito Jorge por tu pagina. Bueno aqui pongo mís soluciones, espero que les sirva y por fabor Jorge me gustaria que hagas una critica a mis soluciones. Feliz año 2008

    Problema 1.1

    La expresión |1 # 2 # 3 # 4 # … # 2007| puede escribirse como
    |1+( # 2 # 3)+( # 4 #5)+…+( # 2006 # 2007) |. Luego remplazando cada # convenientemente tenemos:
    |1+(+2-3)+(-4+5)+(+6-7)+…+(+2006-2007) | = |1-1+1-1+1…-1| (1004 veces) =|0|
    Entonces el menor valor que puede tener la expresión es 0, ya que ningún valor absoluto es menor que cero

    Problema 1.2

    Sean los pesos en kilogramos P_1, P_2, P_3 , \ldots ,P_{15} , se cumple que P_i + 2P_{i+1} = 15000, entonces también se cumple que P_{i+1} + 2P_{i+2} = 15000 , luego P_i + 2P_{i+1} = P_{i+1} + 2P_{i+2}. Podemos tomar P_i = P_{i+1}. Entonces, como P_i + 2P_{i+1}=15000 , P_i  = 5000. Entonces el peso de cada elefante es 5000 Kg.

    Problema 1.3

    Demostraremos que el mayor número d que divide a todos los números de la forma n(n+1)(2n+1996) es 12.
    Para n = 1, n(n+1)(2n+1996)=3996; para n=2, n(n+1)(2n+1996)=12000. Como d divide a todos los números de la forma n(n+1)(2n+1996), d es divisor de 3996 y de 12000. Como el máximo común divisor de 3996 y 12000 es 12, entonces d no puede ser mayor que 12. Ahora solo hay que demostrar que 12 divide a todos los números de la forma n(n+1)(2n+1996). Será suficiente probar que n(n+1)(2n+1996) es múltiplo de 4 y de 3. Como n(n+1) es la multiplicación de dos números consecutivos, entonces es múltiplo de 2. A demás es fácil notar que 2n+1996 es múltiplo de 2. Como n(n+1) es múltiplo de 2 y 2n+1996 también, entonces n(n+1)(2n+1996)es múltiplo de 4.
    Todos los números pueden ser o múltiplos de 3; o múltiplos de 3, más 1; o múltiplos de 3, más 2

    CASO 1: n es múltiplo de 3. Entonces n(n+1)(2n+1996) es múltiplo de 3

    CASO 2: n es múltiplo de 3, más 1. Entonces 2n+1996 es múltiplo de 3 y por ello n(n+1)(2n+1996) es múltiplo de 3

    CASO 3: n es múltiplo de 3, más 2. Entonces n+1 es múltiplo de tres y por ello n(n+1)(2n+1996) es múltiplo de 3.

    En todos los casos n(n+1)(2n+1996) es múltiplo de 3, y como también es múltiplo de 4, n(n+1)(2n+1996) es siempre múltiplo de 12. Entonces el mayor número que divide a todos los números de la forma n(n+1)(2n+1996) es 12.

    Comentario por jesus figueroa — diciembre 31, 2007 @ 3:17 pm | Responder

  17. Alex Aguirre…..no lo tomes a mal creo que el problema 1.2 no es 15 es 15000 kilos.
    Y el problema 1.1 no creo que la respuesta sea 0 y si es haci quisiera saber…. a mi me sale 1 (jiji):D …..en un momento publico mi solucion,…..
    Virgilio Failoc!!

    Comentario por Virgilio Failoc — diciembre 31, 2007 @ 4:55 pm | Responder

  18. La verdad que me quede sorprendido, solo en unas horas esta página ha recibido una avalancha de comentarios, que los recibo gratamente. Ahora voy a responder algunas preguntas que hicieron, por favor, vean el número de comentarios (por ejemplo, este comentario es el 18)

    10. Es importante que notes que la suma es 15 toneladas, es decir, 15000 kilos. Esto fue una consulta que me hicieron en el comentario 1.

    15. Juan Carlos, tu idea es perfecta, pero haria falta el ejemplo, jeje.

    16. Jesús, tus soluciones de los problema 1.1 y 1.3 están correctas. La del problema 1.2 no, no puedes tomar así no más P_i = P_{i+1}.

    Si tienen soluciones distintas a los problemas 1.1 y 1.3 subanlas por favor.

    Aun espero la solucion del problema 1.2. Recuerden que los pesos de los elefantes (en kilos) son todos enteros, y la suma indicada en el enunciado es 15 toneladas, es decir, 15000 kilos. Los pesos de los elefantes no necesariamente están representados por un número entero de toneladas, por ejemplo, podría haber un elefante que pese 4985 kilos.

    Comentario por Jorge Tipe — diciembre 31, 2007 @ 5:12 pm | Responder

  19. He editado el comentario 16 para que se entienda mejor. Ahora está en formato latex…¿qué les parece?

    Comentario por Jorge Tipe — diciembre 31, 2007 @ 5:17 pm | Responder

  20. BUEN DIA
    REFERENTE AL COMENTARIO DE VIRGILO DE MI SOLUCION DEL PROBLEMA DEL SEGUNDO NIVEL AL INICIO ACLARO SEA: E1 , E2,…,E15 LOS PESOS DE LOS ELEFANTES EN TONELADAS LEAN BIEN, PORFAVOR LEAN EL COMENTARIO 14 ALLI ESTA MEJOR EL SEGUNDO EJERCICIO Y SERIA BUENO MEJORAR LA VENTANA DE ENVIO DE COMENTARIOS COLOCARLE EDITOR DE RTF YA QUE NO SALEN ALGUNOS CARACTERES.
    SALUDOS CORDIALES
    PROF.:ALEX AGUIRRE

    Comentario por ALEX AGUIRRE RIVERA — enero 1, 2008 @ 5:31 pm | Responder

  21. Alex:
    Si E_1, E_2, \ldots, E_{15} son los pesos de los elefantes en toneladas, entonces esos números no necesariamente son enteros, por ejemplo, si el primer elefante pesa 4325 kilos entonces E_1=4.325 que no es entero. Si tu llegaste a que 4 < E_1 < 6, como E_1 no necesariamente es entero, no puedes afirmar que E_1=5. ¿Quedó aclarado?
    Saludos a todos.

    Comentario por Jorge Tipe — enero 2, 2008 @ 12:38 am | Responder

  22. (Este comentario es de Gustavo, lo muevo a este lugar por que estaba en un lugar inadecuado)

    Hola, ante todo desearle feliz año nuevo
    sihuiendo con las reglas de los problemas semnales le presento mi solución sobre los problemas , ademas de pedirle una sugerencia para el prblema 1.2.

    Solución 1.1.
    /1#2#3#…..#2005#2006#2007/;# = + ó –

    Ordenando convenientemente:
    /#2007#1#2006#2#2005#…..#1002#1005#1003#1004/

    Agregando el “#0”, ya que no altera en nada la operación, para que se pueda agrupar de 4 en 4.
    Agrupando los números de 4 en 4:/

    ( # 0 # 2007 # 1 # 2006) + ( # 2 # 2005 # 3 # 2004) + ( # 4 # 2003 # 5 # 2002) + …… + ( # 1002 # 1005 # 1003 # 1004) /

    Todos los grupos tiene la forma :

    ( # n # 2007-n # n+1 # 2006-n ) ; n = 0; 1; 2; 3; 4……; 1002

    La suma de los dos primeros números es igual a la suma de los otros dos números.
    Para hallar el menor de cada grupo, los dos primeros “#” deben ser iguales, pero diferentes a los otros dos “#” que también deben ser iguales.
    Es decir, si el primer “#” fuera +, entonces:
    Segundo “#” : +
    Tercer “#” : –
    Cuarto “#” : –
    De igual manera cuando el primer “#” fuera – .

    Luego: Por ejemplo si el Primer “#” fuera +.

    ( + n + ( 2007-n ) – ( n+1 ) – ( 2006 – n ) ) = O

    Si el primer “#” fuera “ – “ también el resultado sería “O”.

    Y como todos los grupos tienen la misma forma entonces:

    / O + O + O + …. + O + O / = /O/ = O

    Solución 1.3.

    n(n+1)(2n + 1996) = 0 (mód. “d”) ; Piden : “dmáx”

    Es decir, piden MCD( todos los números de la forma n( n + 1)(2n + 1996) )

    Hallemos un parámetro solo con n = 1, 2:

    Para n = 1 :

    ( 1 )( 1 + 1 )( 2(1) + 1996 ) = 2^2\cdot 3^3\cdot 37

    Para n = 2 :

    ( 2 )( 2 + 1 )( 2(2) + 1996 ) = 2^5\cdot 3\cdot 5^3

    MCD( 2^2\cdot 3^3\cdot 37  ;  2^5 \cdot 3\cdot 5^3)  =  2^2\cdot 3 = 12

    Por lo tanto : d <= que 12

    Probaremos que dmáx es 12 :

    n( n + 1 )(2n + 1996) = 2n( n + 1 )( n + 998 )

    n o “n+1” es
    múltiplo de 2.

    Entonces la expresión es : 2 *múltiplo de 2 , entonces es múltiplo de 4.

    Solo queda probar que la expresión sea múltiplo de 3. Para eso se toman los siguientes casos sobre “ n “ :

    1. n = 0 ( mód. 3 )
    La expresión sería : múltiplo de 3 * ( n + 1 )(2n + 1996)
    Es decir la expresión es múltiplo de 3.

    2. n = 1 ( mód. 3 )
    2 * n * ( n + 1 )( n + 998 )
    Luego : n + 998 es múltiplo de 3.
    Por lo que la expresión seria múltiplo de 3.

    3. n = 2 ( mód. 3 )
    2 * n * ( n + 1 )( n + 998 )
    Luego : n + 1 seria múltiplo de 3.
    Por lo que la expresión seria múltiplo de 3.

    Por lo tanto la expresión seria múltiplo de 4 y múltiplo de 3 , es decir la expresión resulta ser siempre múltiplo de 12.

    Entonces “dmáx” seria 12.

    Comentario por Jorge Tipe — enero 2, 2008 @ 7:01 pm | Responder

  23. HOla a todos!!!…Ante todo felicitar a Jorge Tipe por esta estupenda idea y felicitar a la gran participacion de estudiantes y profesores en este sitio web.
    Aca mis soluciones.
    P1.
    E=(1+2-3)+(4-5-6+7)+…+(4k-(4k+1+4k+2)+4k+3)+…+2004-2005-2006+2007. Donde k=1,2,…,501.
    Notamos que E=0 y sabemos que el valor absoluto de un numero real es mayor o igual que cero. entonces E mínimo toma 0.

    P3.
    X=n(n+1)(2n+1996)=n(n+1)(2n+1)+n(n+1)(2n+1995).
    Notamos que n(n+1)(2n+1) y n(n+1)(1995) son ambos multiplos de 6.
    Recordemos que : 1×1+2×2+…+nxn=(n)(n+1)(2n+1)/6 –> numero entero. entonces n(n+1)(2n+1), multiplo de 6, n(n+1)(1995) vemos que es multiplo de 3 y como n(n+1) es par. entonces es multiplo de 6…Entonces X es multiplo de 6….(1)
    Luego sea P>6 primo. P=2n+1, n y n+1 son Pesi con P, y si consideramos un P Pesi con 1995( P sera distinto de 3,5,7,19 ya que 1995=3x5x7x19). entonces X no sera divisible por P. Ya que: X=n(n+1)P+n(n+1)(1995)= no multiplo de P.
    si P fuera alguno de los primos 3,5,7,19-> notamos que 3y5 no pueden ser ya que P>6, Ahora para n=1, X=4x27x37. y notamos que P no divide a este X….si es que toma a 7 o 19.
    entonces si P>6 primo. P no divide a X para todo n.
    entonces P primo podria ser 2,3,5. Donde P divide a d->( que es el maximo numero que divide a X )
    X=n(n+1)(2n+1996)=2(n)(n+1)(n+998), si n=1->X sera Pesi con 5, entonces P puede ser 2,3.
    notamos que X=2(n)(n+1)(n+998). Analicemos multiplicidad para 8. notamos que 8 no puede dividir a X ya que 8 no divide a X para n=1.
    Ahora 2(n)(n+1) es multiplo de 4 ya que 2 es par y n(n+1) es par. entonces 2(n)(n+1) es multiplo de 4. Ahora analicemos multiplicidad 9.
    X=2(n)(n+1)(n+998)=2(n)(n+1)(n-1) (mod 9)..analizando para n=2. X no sera multiplo de 9. entonces de (1)..X es multiplo de 6, X es multiplo de 4 mas no de 8, X es multiplo de 3 mas no de 9.
    entonces el maximo d=12.Donde d divide a X para todo n.

    Nota.
    1.-Mi solucion es muy larga en el problema 3. No me di cuenta del caso n=1 y n=2 .
    2.-No entendio el problema 2.
    “La suma del peso de cada elefante (a excepción del que está más adelante) con el doble del peso del elefante que está delante de él es exactamente 15 toneladas”
    O sea si E1,E2,E3,E4..son los elefeantes (sus pesos ).
    entonces 15 000 = 2E1+E2=2E2+E3=… ( es asi ¿? ).
    —-
    Atte.
    >>> Amilcar E. Velez S.

    Comentario por lllAev5lll — enero 2, 2008 @ 11:08 pm | Responder

  24. Amilcar:
    Si denotas con E_1, E_2, E_3,\ldots,E_{15} a los pesos de los elefantes, entonces, cada E_i es entero y se cumplen las ecuaciones que indicaste al final. ¿Ahora sí se entendió?

    Comentario por Jorge Tipe — enero 3, 2008 @ 12:03 am | Responder


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