5.1) [Solución modificada de Virgilio Failoc] 
Bien, si 
Sumemos las cifras de N,
Que es igual a 
( Problema de la V Olimpiada del Cono Sur, 1994)
___________________________________________________________________________________________________________
tiene una sola cifra se tendrá:
, para 
esta expresión da 0, para otro valor de 
la expresión toma un valor negativo, luego, si tiene una sola cifra el máximo valor es 0. tiene dos cifras se tiene:
, luego, solo tenemos que maximizar estos dos sumandos que dependen cada uno de una variable.
, esta expresión se maximiza con 
y resulta 
, esta expresión se maximiza con 
ó 
y resulta 
Luego tenemos que la expresión completa para dos cifras es como máximo
Por lo tanto lo pedido se maximiza cuando tiene dos cifras y es igual a 
ó 
.
, para todos los reales positivos 
y y que la igualda se da solamente cuando 
. En el problema, como 
y 
son positivos tenemos que 
, es decir, 
, y que la igualda se da solamente cuando $a=10-a$, es decir cuando 
.(Problema de la VIII Olimpiada del Cono Sur, 1997 )
____________________________________________________________________________________________________________
5.3) Las fracciones:
serán irreductibles si y solamente si las siguientes fracciones también lo son:
si restamos 1 a cada fracción seguirán siendo irreductibles, es decir, tenemos que hallar el menor
son irreductibles. Sea 
Si 
Concluimos que 
(Problema de la X Olimpiada del Cono Sur, 1999 )
[...] Guardado en: General — Jorge Tipe @ 3:15 pm Ya pueden ver las soluciones de la Semana 5 aquí. Seguí la solución de Virgilio Failoc en el problema 5.1, la de Alex Aguirre en la 5.2 y en el 5.3 [...]
Pingback por Soluciones, Semana 5 « Olimpiada Nacional Escolar de Matemática — febrero 9, 2008 @ 3:15 pm |
Hola, ante todo prof. Tipe les mando mis muy sinceras felicitaciones por su pagina, me dirijo a ustedes para pedirle que me diga como puedo hacer para encotrar una formula para una sumatoria, osea encontrar, no demostrar.
Por ejemplo: 1 + 2 + 3 +……..+ n =(n)(n+1)/2 como puedo hacer para llegar a esa formula , no quiero demostrarla sino como llegar a ello desde ya le doy gracias y me retiro.
Saludos
Comentario por Sergio — abril 5, 2008 @ 10:21 pm |
Veamos… usted pide “encontrar” la fórmula, pero si la forma en que encuentro la fórmula es correcta ya la estaría demostrando, no me quedó clara su pregunta pero espero que con lo siguiente pueda responderle…
Consideremos un arreglo rectangular de puntos formado por
filas y 
columnas, en la primera fila pintamos el primer punto rojo, en la segunda pintamos de rojo los dos primeros puntos, así sucesivamente hasta que pintemos de rojo los 
puntos de la última fila. Todos los otros puntos los pintamos de azul. La cantidad de puntos rojos es 
, y la de puntos azules es 
, como el número total de puntos es 
, el número de puntos de cada color es
.
Por ejemplo, para
R A A A
R R A A
R R R A
Comentario por Jorge Tipe — abril 6, 2008 @ 2:58 pm |
se publicara el solucionario de la primera fase de la ONEM 2008?
Comentario por SERGIO AMAYA ROSALES — julio 9, 2008 @ 6:54 pm |
Calcule todos los enteros positivos m, n; donde n es impar, que satisfagan:
(1/m)+(4/n)=(1/12)
(British Mathematical Olympiad 2002, 1ra Ronda)
Comentario por Ares_x100pre — julio 9, 2008 @ 8:11 pm |
Aunque ya es algo tarde a la respuesta de Sergio. se tiene:
S= 1 + 2 + 3 +… +n sumamos con
S= n + (n-1) +(n-2)+… +1, y se obtiene:
2S=(n+1) + (n+1) + (n+1)+…+(n+1), ¨n¨ terminos entonces tenemos 2S=n(n+1), despajando S=n(n+1)/2
Comentario por Ares_x100pre — julio 9, 2008 @ 8:20 pm |
Para la pregunta de Ares_x100pre, primero expandemos la expresión y luego la agrupamos para obtener: (m-12)(n-48)=12×48
Como n es impar, los posibles valores de n-48 son 1,3,9.
Entonces tenemos las soluciones (m,n)={(576,49),(192,51),(64,57)}
Comentario por Mario Ynocente — julio 12, 2008 @ 1:00 am |
Por favor, podría publicar las pruebas de la III fase de la ONEM 2008
Comentario por Laura Adrianzén — enero 3, 2009 @ 12:01 pm |
me podeis decir cual es la solucion a este problema? soy de tre cifras. si mi 4 fuera un 9, y mi 6 fuera un 3, lo que ahora soy valdria uno menos que la mitad de lo que entonces seria. contestarme porfavorrrrrrrrrrrrrrr
Comentario por marisa — junio 6, 2009 @ 5:39 am |
“X” va a ser el número inicial
“Y” va a ser el número final
Planteando la ecuación queda que: 2(x+1)=y (por esto se sabe que Y>X), para que esto se cumpla necesariamente la cifra de las centenas va ser 4, y de las decenas va a ser 6 ya que “Y” es par; y ahora como la cifra de la unidades no cambia entonces: X es de la forma 460+a, Y de la forma 930+a. De la primera ecuación se resuelve: 2(460+a+1)=930+a; resolviendo la ecuacion se tiene que a=8, siendo el número inicial 468 y el número final 938.
Comentario por John PC — junio 11, 2009 @ 12:18 pm |
q tal profe le felicito por esta pagina que esta chebre y queria saber si ba a publicar la resolucion de esxamen
Comentario por DEBRAY — julio 25, 2009 @ 12:22 pm |
hola Jorge quisiera saber la resolucion de este problema:
..Despues de haber perdido sucesivamente los 3/8 de su herencia, 1/9 del resto y los 5/12 del nuevo resto, una persona hereda 60800 soles y de este modo la perdida se halla reducida en la mitad de la fortuna primitiva.¿a que cantidad asciende la fortuna?
Comentario por martin monge — abril 5, 2010 @ 6:51 pm |
1.-\qquad Probar que el producto de cuatro n\’{u}meros naturales consecutivos
no puede ser el cuadrado de un entero.
\vspace{1pt}
1${{}^a}$ Soluci\’{o}n
\vspace{1pt}
\qquad Daremos respuesta negativa al problema, mostrando que el pro-
ducto de cuatro n\’{u}meros naturales consecutivos es siempre de la
forma $\alpha ^{2}-1,$ que s\’{o}lo es un cuadrado si $\alpha =1,$ caso que
claramente
queda excluido. Designemos entonces por $n,n+1,n+2$ y $n+3$ a tales
n\’{u}meros. Operando y desarrollando tenemos que:
\vspace{1pt}
\qquad $n(n+1)(n+2)(n+3)=n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n=$
\vspace{1pt}
\qquad $=(n^{2}+3n)^{2}+2n^{2}+6n=(n^{2}+3n)^{2}+2(n^{2}+3n)=$
\vspace{1pt}
\qquad $=(n^{2}+3n)^{2}+2(n^{2}+3n)+1-1=(n^{2}+3n+1)^{2}-1\qquad $
\vspace{1pt}
2${{}^a}$ Soluci\’{o}n
\vspace{1pt}
\qquad Sean $n-1,n,n+1,n+2$ cuatro enteros consecutivos. Entonces
su producto $\alpha $ es
\qquad \qquad $\alpha =\left( n-1\right) n\left( n+1\right) \left(
n+2\right) =\left( n^{3}-n\right) \left( n+2\right) =n^{4}+2n^{3}-n^{2}-2n$
\vspace{1pt}
Ahora bien, \qquad $\left( n^{2}+n-1\right)
^{2}=n^{4}+2n^{3}-n^{2}-2n+1=\alpha +1>\alpha $
\vspace{1pt}
Como $\alpha \neq 0$ y $\alpha $ es $1$ m\’{a}s un cuadrado, $\alpha $ no
puede ser un cuadrado.
\vspace{1pt}
Comentario por LUIS — abril 15, 2010 @ 12:55 am |