Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

Soluciones, Semana 3

3.1 [Solución de Juan Carlos, un poco modificada] Los números que tienen exactamente dos divisores son primos; los que tienen un número impar de divisores son cuadrados perfectos. Con esto n es primo y n+1 es un cuadrado perfecto, digamos que n+1=a^2, entonces n=a^2-1. Desarrollamos: a^2-1=(a+1)(a-1) como es primo sus factores deben ser el mismo y la unidad, entonces a-1=1, y a=2. Por lo tanto, reemplazando: n=3, n+1=4, y n+2=5. Por lo tanto n+2 tiene exactamente dos divisores positivos.

(Problema sugerido por el prof. Jery Huamani, propuesto en el Canguro Matemático)

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3.2 [Siguiendo la idea principal de gustavo] Dado n\geq 0, calculemos a_{n+5} en función de a_n.

a_{n+1}=3a_n+1

a_{n+2}=3(a_{n+1})+1=9a_n+4

a_{n+3}=3(a_{n+2})+1=27a_n+13

a_{n+4}=3(a_{n+3})+1=81a_n+40

a_{n+5}=3(a_{n+1})+1=243a_n+121

notemos que 121 es múltiplo de 11. Como a_0=0 es múltiplo de 11 y a_5=243a_0+121 entonces a_5 también es múltiplo de 11. Por el mismo motivo, a_{10} también es múltiplo de 11, en general, todos los números de la forma a_{5k} son múltiplos de 11. Por lo tanto, a_{155} es múltiplo de 11. Luego, a_{155} tiene una de las formas: 33k, 33k+11, ó 33k+22.

Por otro lado, como a_{155}=3a_{154}+1, concluimos que a_{155} es de la forma 33k+22.

(Problema modificado a partir de uno de la Olimpiada Matemática Flanders (Bélgica), 1989)

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3.3

 

2 comentarios »

  1. [...] Semana 3 Guardado en: General — Jorge Tipe @ 7:19 pm Ya pueden ver la soluciones aquí, o cómo siempre en la parte derecha de la [...]

    Pingback por Soluciones, Semana 3 « Olimpiada Nacional Escolar de Matemática — enero 25, 2008 @ 7:19 pm | Responder

  2. quisiera la solucion de la tercera fase nivel tres de octubre 2008

    Comentario por ruth — octubre 22, 2009 @ 3:30 pm | Responder


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