Soluciones, Semana 2

Es fácil notar que, debido a que es estrictamente creciente, se cumple que , , , …, y en general se cumple que , para todo natural.

2.1 Como entonces . Si tendríamos que . Si tendríamos que , que no es posible. Concluimos que , aplicando en ambos lados obtenemos y aplicando nuevamente: , una vez más . Notemos que:

y en consecuencia y . Para finalizar notemos que .

_____________________________________________

2.2 [Haré algunas modificaciones a la solución de Virgilio Failoc, que estaba correcta]

Demostraré por inducción que , para que es correcto, ahora para demostrar que reemplazaremos n en la ecuación general por obtenemos , ahora aplicando a ambos lados obtenemos de donde queda demostrado que ; ahora también vemos que y sea , por lo tanto que de donde también demostramos que cada potencia de tres pertenece a la imagen de la función .

_______________________________________

2.3 Del problema 2.2 deducimos que y , por lo tanto

de donde notamos que (noten que esto vale no solamente para 9 y 18, sino que en general, para y ). Como tenemos que .

Análogamente, como y , entonces , es decir, para , en particular .

Concluimos que .