Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

Soluciones, Semana 1

1.1 Demostraremos que el menor valor posible es 0, como la expresión pedida es un valor absoluto, bastará dar un ejemplo para garantizar que el mínimo es 0.

Sea n\geq 2 un número entero. Podemos cambiar adecuadamente los signos # delante de los números n, n+1, n+2, n+3 para conseguir 0, de la siguiente forma

+n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0

comenzamos la construcción del ejemplo con:

1+2-3

luego, a los otros 2004 números los dividimos en cuaternas:

|1+2-3+(4-5-6+7)+\ldots+(2004-2005-2006+2007)|

como la suma para cada cuaterna da 0, el resultado total también es 0.

(Este problema es clásico, de hecho si cambian el 2007 por otro número se obtiene un problema similar. Por ejemplo, pueden analizar el problema cambiando el 2007 por un 2006)

_____________________________________________

1.2 Sean E_1, E_2, E_3, \ldots, E_{15} los pesos de los elefantes (expresados en kilos). Notemos que cada E_i es entero y además, 0< E_i<15000. Tenemos las siguentes ecuaciones:

E_2+2E_1=15000

E_3+2E_2=15000

E_4+2E_3=15000

: :

E_{15}+2E_{14}=15000

Vamos a hacer los siguientes cambios de variables: Para cada i, 1\leq i \leq 15 sea x_i=E_i-5000. Notemos que cada x_i es un número entero (aunque no necesariamente positivo), luego de reemplazar obtenemos

x_2=-2x_1

x_3=-2 x_2

x_4=-2x_3

: :

x_{15}=-2x_{14}

de donde deducimos que x_{15}=2^{14}x_1 . Como 0< E_{15}<15000 entonces -5000<x_{15}<10000, ahora, como x_{15} es múltiplo de 2^{14}=16384, necesariamente x_{15}=0. Finalmente, es fácil deducir que todos los x_i son iguales a 0, y en consecuencia todos los E_i son iguales a 5000.

(Problema propuesto en el Torneo de las Ciudades, 1989)

_______________________________________

1.3 En particular, d debe dividir a los números:

1\cdot 2\cdot 1998=2^2\cdot 3^3\cdot 37

2\cdot 3\cdot 2000=2^5\cdot 3\cdot 5^3

luego, d divide al M.C.D de estos dos números, que es 12=2^2\cdot 3. Con esto tenemos que d\leq 12.

Demostremos que el mayor valor posible de d es 12, para esto, tenemos que demostrar que todos los números de la forma: n(n+1)(2n+1996) son divisibles por 12.

Sea u_n=n(n+1)(2n+1996)=2n(n+1)(n+998) . Como n(n+1) es siempre par, entonces u_n es múltiplo de 4.

Sea v_n=2n(n+1)(n+2), como el producto de tres enteros consecutivos es siempre múltiplo de 3, entonces v_n es múltiplo de 3. Notemos que:

u_n-v_n=2n(n+1)\cdot 996

es siempre múltiplo de 3. Con esto deducimos que u_n es siempre múltiplo de 3. Finalmente, como ya vimos, u_n es siempre múltiplo de 4, por lo tanto, u_n es siempre múltiplo de 12. Como queríamos demostrar.

(Este problema fue propuesto en la Olimpiada de Moldávia, 1996)

15 comentarios »

  1. [...] Soluciones, Semana 1 [...]

    Pingback por Soluciones, Semana 1 « Olimpiada Nacional Escolar de Matemática — Enero 3, 2008 @ 1:21 am | Responder

  2. Buen día aquí va mi solución del segundo nivel al principio pensé que era un numero entero de toneladas pero ya vi. Los comentarios. Ojala salgan bien los caracteres

    Sean E1; E2;…; E14; E15 los pesos en kilogramos de los elefantes
    Según los datos:
    n pertenece a N y n mayor o igual que 2 y menor o igual que 15

    2E1+E2=15000 entonces E2 = 5000-5000*(-2)^(2-1) + (-2)^(2-1)*E1
    2E2+E3=15000 entonces E3 = 5000-5000*(-2)^(3-1) + (-2)^(3-1)*E1
    2E3+E4=15000 entonces E4 = 5000-5000*(-2)^(4-1) + (-2)^(4-1)*E1
    :
    :
    2En-2+En-1=15000 entonces En-1 = 5000-5000*(-2)^(n-2) + (-2)^(n-2)*E1
    2En-1+En=15000 entonces En = 5000-5000*(-2)^(n-1) + (-2)^(n-1)*E1

    Por otro lado E1; E2;…;E14; E15 todos son valores menores de 15 000 debido a las ecuaciones mencionadas.
    Entonces:
    E14 = 5000-5000(-2)^(14-1) + (-2)^(14-1)*E1 < 15000…I
    E15 = 5000-5000(-2)^(15-1) + (-2)^(15-1)*E1 4999, …………(los puntos significa parte decimal que continua)
    De II se tiene: E1 E1 > 4999,…
    Por lo tanto como E1 es entero
    E1=5000
    Reemplazando en las ecuaciones
    E1=E2=………..= E14=E15=5000kg
    Listo
    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre Rivera

    comentario por Alex Aguirre — Enero 4, 2008 @ 4:22 pm | Responder

  3. Estimados amigos, felicito la iniciativa de poder contar con un portal de recursos matemáticos en la solución de problemas olímpicos.
    Soy profesor de secundaria en Sullana Piura.

    comentario por Gerardo — Enero 5, 2008 @ 9:47 am | Responder

  4. Saludos amigos de este foro, espero que este año sea mucho mejor para ustedes.
    Bueno, …. está es mi solución al problema 1.2, siguiendo con las instrucciones de Jorge Tipe, muchas gracias por la ayuda:
    Jorge, un gran favor, aun no se utilizar el latex, ayudame formateando este texto y en las siguientes publicaciones ya tendre que aprender el lenguaje latex.

    Solucion:

    Sea A_j el peso de cada elefante en la posición “j”.
    Entonces demostraremos primero que no existe ningún numero tal que A_1>5000,o A_1A_1>5000. (1)
    Por datos: X_1=A_1-5000 2 X_2=2A_2-1000 (A_1 + 2 A_2=15000)
    La suma es X_1+2 X_2=0,por lo tanto X_1=-2 X_2.
    Similar pasa con cada uno X_2=-2X_3 ……. Hasta llegar ah X_14=-2*X_15
    De lo que deducimos: X_1=-2*X_2=2^2*X_3=-2^3*X_4=……………=2^14*X_15 (2)
    De ahí X_1+5000= A_1 reemplazando en (1) tenemos: 15000>X_1+5000>5000 lo que se resume en 10000>X_1>0 ….. luego teniendo en cuenta a (2) 10000>2^14*X_15>0 , que es igual a 10000>16384 X_15 >0 ….. quedando 0.6 > X_15 >0 ….. lo que es imposible puesto que X_15 debe ser entero.
    **Segundo caso: 5000>A_1>0 (3)
    A_1=X_1+5000 reemplazando en (3) se tiene: 5000>X_1+5000>0
    Concluyendo 0>X_1>-5000 ; pero teniendo en cuenta en (2) X_1=2^14*X_15 ; reemplazando en la última ecuación 0>2^14*X_15>-5000 que es igual a 0>16384 X_15> -5000 ….. quedando 0>X_15>-0.305 …… lo que es imposible puesto que X_15 debe ser entero.
    Por lo tanto podemos concluir que A_1 =5000, vemos que hay respuesta y es única que es la sgt.
    A_1=A_2=A_3=…..=A_15=5000

    Si tengo algún error háganmelo saber…..
    Att. Virgilio Failoc Rojas

    comentario por Virgilio Failoc — Enero 5, 2008 @ 10:34 am | Responder

  5. Buen día aquí va mi solución del segundo nivel al principio pensé que era un número entero de Toneladas pero ya vi Los comentarios. Ojala salgan bien los caracteres

    Sean E1; E2;…; E14; E15 los pesos en kilogramos de los elefantes
    Según los datos:

    2E1+E2=15000
    2E2+E3=15000
    2E3+E4=15000
    :
    :
    2En-2+En-1=15000
    2En-1+En=15000

    Entonces:

    E2 = 5000-5000*(-2)^(2-1) + (-2)^(2-1)*E1
    E3 = 5000-5000*(-2)^(3-1) + (-2)^(3-1)*E1
    E4 = 5000-5000*(-2)^(4-1) + (-2)^(4-1)*E1
    :
    :
    En-1 = 5000-5000*(-2)^(n-2) + (-2)^(n-2)*E1
    En =5000-5000*(-2)^(n-1) + (-2)^(n-1)E1…I

    n pertenece a N y n mayor o igual que 2 y menor o igual que 15

    Por otro lado E1; E2;…;E14; E15 todos son valores menores de 15 000kg debido a las ecuaciones mencionadas.

    Entonces se puede arreglar de la siguiente manera:

    E14=5000-5000(-2)^(14-1)+(-2)^(14-1)*E1<15000…II
    E15 = 5000-5000(-2)^(15-1) + (-2)^(15-1)*E1 4999,…(los puntos significa parte decimal que continua)
    De III se tiene: E1< 5000,…(los puntos significa parte decimal que continua)
    Por lo tanto como E1 es entero
    E1 = 5000…IV
    Reemplazando IV en II
    En = 5000kg
    Por lo tanto E1 = E2 = E3=…=En

    Listo
    Saludos cordiales
    Prof.: Alex Aguirre Rivera

    comentario por Alex — Enero 5, 2008 @ 8:10 pm | Responder

  6. Disculpen hay una parte de los caracteres que no sale bien en el comentario cosas de la informatica no lo se parece que no corto y pego bien del word o debo tipearlas directamente pero no me salen bien los comentarios y queda mal.
    Saludos
    Prof.:Alex

    comentario por Alex — Enero 5, 2008 @ 8:17 pm | Responder

  7. Voya subir dentro de poco un post donde les indicaré cómo escribir en LaTeX para que queden bien las cosas matemáticas.

    comentario por Jorge Tipe — Enero 6, 2008 @ 11:27 am | Responder

  8. ante todo buenas noches te antemano les agradesco que me ayuden , con enviarme las respuestas del las olimpiadas de matematica del 20 de junio .gracias

    comentario por dina — Julio 2, 2008 @ 10:34 pm | Responder

  9. Primeramente un cordial saludo a su persona Sr. Jorge, bueno la razón por lo que le escribo algunas lineas es simplemente para poder obtener su libro de olimpiadas de mátemáticas. Yo soy de nacionalidad bolivbiana, espero su respuesta, sin más que decir me despido de su persona.

    comentario por Henry — Julio 3, 2008 @ 11:50 am | Responder

  10. bueno ante todo saludo a todos , yo pienso q en este año la ONEM ha tenido ung ran error de poenr en un solo nivel a dos grados porq supongoq lo q hacen cuarto no lo ahcen tercero tambien q lo q hace segundo no lo ahce primero ps peinso eso ok cuidense todos bye

    comentario por Diana — Agosto 19, 2008 @ 8:13 pm | Responder

  11. podrian enviarme las respuesta del examen del 19 de agosto ok bye cuidense

    comentario por Diana — Agosto 19, 2008 @ 8:15 pm | Responder

  12. El motivo de la presente es para saludarlo y a la vez preguntarle
    DONDE PUEDO CONSEGUIR EL EXAMEN RESUELTO DELAS OLIMPIADAS 2008 TOMADAS EL DIA (19/08/08)

    GRACIAS

    ATENTAMENTE,

    PADRE DE FAMILIA
    DAVID

    PERU – AYACUCHO – CANGALLO

    comentario por DAVID — Agosto 20, 2008 @ 12:00 pm | Responder

  13. necesito una explicacion de las priebas de cuarto año de secundaria

    comentario por lourdes valverde — Noviembre 13, 2008 @ 10:33 pm | Responder

  14. BUENO QUE CHEVRE LO IZE IGUAL JEJEJE

    comentario por WUILMER JHOSEP — Julio 9, 2009 @ 7:39 pm | Responder

  15. hola jorge, te saluda cristian romero, del colegio san igancio de iquitos, por error perdi el enlace de tu pagina que me enviaste hace un tiempo con el olimpico, percy augusto guerra rios ex alumno de nuestro colegio y medalla de bronce en alemania, necesito con carecter de urgencia que me envies dicho enlace a mi correo, ademas necesito materiales de temas muy especificos como: divisibilidad; criterios, tableros,y ejercicios para la segunda fase ONEM con solucion incluida.Bueno amigo tipe te felicitamos por la publicacion de tu segundo libro (III ONEM), dale mis saludos al profesor Mariano Gonzales y Emilio Gonzaga. te agradesco de antemano el envio de lo solicitado ; y no le hagas caso al piojo pariona de amautas, nosotros sabemos que tu eres calidad.

    comentario por cristiam romero vilela — Agosto 18, 2009 @ 3:44 pm | Responder


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