Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

noviembre 30, 2009

Resultados de la Cuarta fase ONEM 2009

Archivado en: General — Matemática @ 10:34 pm

Estos son los resultados generales  del examen llevado a cabo el 29 de noviembre en Huampaní.

resultados Nivel 1

resultados Nivel 2

resultados Nivel 3

noviembre 22, 2009

Concurso Prologmática 2009

Archivado en: General — Matemática @ 10:55 pm

El colegio Prolog (de Lima), está organizando un concurso de matemática para este sábado 28 de noviembre, y que luego del cambio de fecha de la ONEM (ellos ya tenían definida su fecha con bastante anticipación) ha ocasionado que su concurso sea un día antes del día en que se va a tomar la prueba final de la ONEM. Según me cuentan los organizadores, les gustaría que las delegaciones de distintas partes del país que van a participar en la ONEM, vayan al concurso, aprovechando su corta estadía en Lima.

Los interesados en el concurso, aún están a tiempo para inscribirse. Derepente antes de ir la ONEM  se pueden ganar uno de los tantos premios que ofrecen, y lo interesante es que los premios se van a dar por separado: para alumnos de colegios estatales y particulares.

También, me han invitado a dar la charla a los profesores asistentes, mientras los alumnos estén dando el examen. Así que espero contar con la presencia de ustedes.

Más informes en la página web del colegio: www.prolog.edu.pe

Problemas de Entrenamiento para la Cuarta Fase (ONEM 2009)

Archivado en: General — Matemática @ 9:55 pm

Últimamente he estado dedicado a terminar el libro de la IV ONEM, que espero tenerles buenas noticias pronto. Debido a eso, no pude subir los problemas de entrenamiento para la cuarta fase, como le he venido haciendo en todas las fases de esta ONEM, el objetivo de estos problema es que comenten y suban sus soluciones, incluso si no estén completas.

1) Un número de 4 dígitos n=\overline{abcd} es llamado olímpico si a<b<c<d y cada dígito es un divisor de n. Por ejemplo, 1236 es olímpico pues 1<2<3<6 y los dígitos 1, 2, 3 y 6 son divisores de 1236. Más aún, 2346 no es olímpico pues 4 no es divisor de 2346.

  • Demuestre que ningún número olímpico tiene un dígito 5.
  • Demuestre que ningún número olímpico tiene un dígito 7.
  • Halle todos los números olímpicos.

2) En una fiesta hay 8 personas, cada par de personas se conocen o no se conocen. Cada persona conoce a exactamente tres de las otras. Determine si las siguientes condiciones se pueden cumplir a la vez:

  • En cualquier grupo de 3 personas, al menos dos no se conocen.
  • En cualquier grupo de 4 personas, al menos dos se conocen.

3) ¿Es posible encontrar dos enteros positivos m y n tales que el mínimo común múltiplo de los números 1, 2, 3, \ldots, m sea igual a 2008 veces el  mínimo común múltiplo de los números 1, 2, 3, \ldots, n ? (Enunciado editado)

4) Sea d(k) la cantidad de divisores positivos de k. Pruebe que existen infinitos enteros positivos M que no pueden ser escritos en la forma: M=\left(\frac{2\sqrt{n}}{d(n)}\right)^2 para algún entero positivo n.

5) Un triángulo tiene uno de sus ángulos igual a 120°, demuestre que los pies de las tres bisectrices interiores forman un triángulo rectángulo.

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