Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

febrero 24, 2008

Las pruebas de la ONEM 2007 ya están completas!

Filed under: General — Matemática @ 12:35 pm

Gracias al profesor Montalvo, que me mando las pruebas que faltaban, ahora sí ya están completas. Pueden verlas en la parte derecha, en ONEM 2007.

febrero 22, 2008

Una maratón de resolución de problemas

Filed under: maratón — Matemática @ 7:28 pm

Para darle un poco más de actividad a la página, y aumentar la participación de ustedes, que es lo importante, es que hago esta maratón que consta de lo siguiente:

- Comienzo yo (el moderador :) ) sugiriendo un problema ( fácil o intermedio, no muy difícil ) de respuesta numérica.

- Otra persona da su respuesta, y una solución (no es necesario que sea muy detallada).

- Cuando la persona que sugirió el problema o el moderador, comprueban que la respuesta está correcta, la persona que resolvió el problema sugiere otro problema, y el ciclo se repite nuevamente.

Algunas indicaciones más:

- Traten de subir problemas que a ustedes mismos les parezcan interesantes, no suban problemas difíciles, recuerden que después tendrán que comprobar la respuesta.

- Los problemas pueden ser de cualquier tema: aritmética, combinatoria, álgebra, geometría, etc y tiene que estar claros en su enunciado.

- Si los problemas son creados por ustedes, mucho mejor!!

Comienzo:

_____________________________________________________

  • Problema 1. Sea N el menor múltiplo de 15 tal que cada uno de sus dígitos es 8 ó 0. Determine el mayor factor primo de N.
(Sugerido por J. Tipe)
  • Problema 2. Encuentren todas las posibles soluciones enteras de n y m de la ecuación \sqrt{n} + \sqrt{n+60} = \sqrt{m} .
(Sugerido por Virgilio Failoc )
  • Problema 3. Determinar el número de ternas de enteros positivos a, b, c tales que:
\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{c+2}
(Sugerido por Mario Ynocente)
  • Problema 4. Hallar todos los números reales positivos a,b,c que cumplan
2(\frac{a^2}{(ab)^2+1}+\frac{b^2}{(bc)^2+1}+\frac{c^2}{(ac)^2+1}) = \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}
(Sugerido por Jesús Figueroa)
  • Problema 5: ABCDE es un pentágono tal que AE=ED, AB + CD=BC, y \angle BAE+\angle CDE = 180^\circ. Demostrar que \angle AED=2\angle BEC
(Sugerido por Mario Ynocente)
  • Problema 6: Demostrar que en todo grupo de 6 personas siempre existe un grupo de 3 personas que se conocen entre si o un grupo de tres personas que no se conocen entre si.
(Sugerido por Jesús Figueroa)
  • Problema 7: Hallar todas las funciones suryectivas f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tales que:

f(f(x-y))=f(x)-f(y)

(Sugerido por Mario Ynocente)
  • Problema 8: Sean m,n números enteros no negativos, determinar todos los enteros x que cumplan: m!+n!=2008-5x^2.
(Sugerido por Jesús Figueroa)
  • Problema 9: Supongamos que exista una solución real (x_0,y_0,z_0) para el sistema de ecuaciones:
x=f(y), y=f(z), z=f(x)
donde f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} es una función estrictamente creciente. Demostrar que: x_0=y_0=z_0
(Sugerido por Mario Ynocente)
  • Problema 10: Calcule todos los números racionales positivos x, y, z tales que
x + \frac{1}{y} , y + \frac{1}{z}, z + \frac{1}{x}

sean enteros.

(Sugerido por Jery Huamani)
  •  Problema 11: Un cuadrilátero convexo ABCD tal que AD=CD y \angle DAB= \angle ABC<90^ \circ. La recta por D y el punto medio de BC intersecta a la recta AB en E. Demostrar que $latex  \angle BEC= \angle DAC$.

(Sugerido por  )

____________________________________________________

Participen!!!

febrero 20, 2008

Acerca de un problema de admisión UNI 2008-1

Filed under: retos — Matemática @ 7:33 pm

Uno de los problemas del examen de matemática de este último examen de admisión a la UNI dice lo siguiente:

Dados tres conjuntos A, B y C tales que ( A \cup B ) \subset ( A \cup C ) y ( A \cap B ) \subset ( A \cap C ) entonces

A) B \subset C

B) B=C

C) C \subset B

D) ( A \cup C ) \subset B

E) ( A \cup B ) \subset C

Me parece interesante el problema, un buen ejercicio de teoría de conjuntos. Me dió curiosidad de ver la solución dada por la academia César Vallejo, y la verdad, no me convence en nada, a ver que dicen ustedes… alguien quiere subir una solución correcta de este problema?

Vayan a este enlace, si quieren ver la “solución” que no me convenció, es el Problema 17:

http://aduni.com.pe/eventos/UNI2008I/links/pdf/2/sol_matematica.pdf

Que les vaya bien!

febrero 17, 2008

La página de Francisco Javier García Capitán

Filed under: General — Matemática @ 5:06 pm

Esta excelente página, hecha por el profesor Francisco Javier García Capitán tiene muchas cosas interesantes y que les va ser de utilidad a todos ustedes. La mayor parte del contenido de la página se centra en geometría, pero hay una sección de Resolución de Problemas que tiene problemas variados y sencillos para practicar, por ejemplo, para las primera fases de la ONEM.

Podría decir también que la profundidad con las que se tocan los temas es variada, desde cosas sencillas hasta más avanzadas, como la demostración de Erdos al Postulado de Bertrand.

Les recomiendo fuertemente las secciones de Escritos, Resolución de Problemas y Bella Geometría. Como verán hay mucho material en esa página, para ayudarlos a abordar ese material voy a hacer una clasificación personal de los materiales que encontrarán en Escritos y Resolución de Problemas para que sepan masomenos por donde comenzar ( Los niveles iniciante, intermedio y avanzado se refieren a la dificultad y profundidad con que son tratados los temas, no confundir con los Niveles 1, 2 y 3 que solamente corresponden a grados de escolaridad ):

Nivel Iniciante

  • Teoría de Números Elemental.
  • Un pequeño manual de resolución de Problemas.
  • El gran desafío (usen estos problemas como entrenamientos para las primeras fases de la ONEM !)

Nivel Intermedio

  • El Teorema de Pitágoras
  • El Teorema de Ptolomeo.
  • Fórmulas de Cuadriláteros
  • Una propiedad curiosa del heptágono regular. (para comprenderla necesitan conocer el Teorema de Ptolomeo)
  • El Teorema de Morley.
  • Desigualdades

Nivel Avanzado

  • La inversión, una herramienta para resolver problemas
  • Porismo de Steiner (necesitan el tema de inversión para entenderlo mejor)
  • Problemas Sangaku (algunos problemas son de nivel intermedio, pero hay algunos muy difíciles)
  • Coordenadas Baricéntricas
  • El Postulado de Bertrand

El enlace: La página de Francisco Javier García Capitán

pacoga

febrero 16, 2008

Enunciados, Semana 7

Filed under: problemas semanales — Matemática @ 3:48 pm

Como veo que no le hicieron mucho caso a los retos anteriores, no voy a desaprovecharlos. Por otro lado, espero ver más soluciones para esta semana, han estado disminuyendo el número de soluciones enviadas, no se porque motivo, pero definitivamente hay menos personas participando de los que vi en la Convocatoria que hice al inicio, en ese entonces había mucha gente animada… qué pasó ?

Recuerden que no es necesario que resuelvan los tres problemas a la vez. Pueden subir sus soluciones a partir del 20 de febrero. 

Decimos que un número natural es suma de dos cuadrados, si se puede expresar como la suma de dos cuadrados perfectos ( los cuadrados perfectos son 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \ldots ).

En los siguientes problemas quizás les es conveniente usar la identidad de Lagrange:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

7.1) a) Demuestre que el número 57744 es suma de dos cuadrados.

b) Se tiene k números naturales consecutivos, donde cada uno de ellos es suma de dos cuadrados. Halle el mayor valor posible de k.

7.2) a) Demuestre que N es suma de dos cuadrados si y solamente si 2N es suma de dos cuadrados.

b) ¿ El número 2008 es suma de dos cuadrados ?

7.3) Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo cíclico ABCD se intersectan en el punto E. Dadas las longitudes AB = 39 , AE = 45, AD = 60 y BC = 56 , determine la longitud de CD.

febrero 13, 2008

Cuadrilátero cíclico con algunos lados enteros

Filed under: retos — Matemática @ 2:37 pm

Este problema es de la Competencia Matemática Mediterránea 2007, por cierto, el fundador y gestor de esta competencia es Francisco Bellot, de quien ya les había hablado antes.

Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo cíclico ABCD se intersectan en el punto E. Dadas las longitudes AB = 39 , AE = 45, AD = 60 y BC = 56 , determine la longitud de CD.

Que les vaya bien !

PD. Los demás problemas de esta competencia los pueden ver aquí, ojo que están en inglés.

febrero 10, 2008

n y 2n como suma de dos cuadrados.

Filed under: retos — Matemática @ 5:01 pm

Este es un problema de una competencia húngara de 1938:

Decimos que un número natural es suma de dos cuadrados, si se puede expresar como la suma de dos cuadrados perfectos. Demuestre que N es suma de dos cuadrados si y solamente si 2N es suma de dos cuadrados.

Hungr�a

 

febrero 9, 2008

Soluciones, Semana 5

Filed under: General — Matemática @ 3:15 pm

Ya pueden ver las soluciones de la Semana 5 aquí. Seguí la solución de Virgilio Failoc en el problema 5.1, la de Alex Aguirre en la 5.2 y en el 5.3 puse mi solución, ya que la soluciones que vi no estaban claras en la parte final.  Verán ahora a que me refiero.

febrero 7, 2008

Enunciados, Semana 6

Filed under: General — Matemática @ 4:36 pm

Pueden subir sus soluciones a partir del día 11 de febrero.

6.1) a) ¿Es posible escribir el número (2^{100}-1) como suma de tres enteros consecutivos ?

b) ¿Es posible escribir el número 2^{100} como suma de cien enteros consecutivos ?

6.2) Sean a y b meros reales. Demuestre que se cumple la siguiente desigualdad

(a+b)^4 \geq 7a^3b+7ab^3+2a^2b^2

6.3) Halle el menor entero no negativo N para el cual el número (2^{100}+N) se puede expresar como la suma de cien enteros consecutivos.

 

 

febrero 5, 2008

Algunos problemas con monedas verdaderas y falsas

Filed under: retos — Matemática @ 7:07 pm

Estos tipos de problemas suelen venir en algunas olimpiadas, son bonitos porque solo necesitan un poco de lógica para resolverlos, y ser ordenados en el razonamiento. Las balanzas de las que se hablan en estos problemas, son las balanzas de “pesas”, osea que solo comparan el peso del contenido de sus dos platillos, pero no indican el peso de cada uno, recuerden, “solo comparan”. Las balanzas son así :

balanza

Hay muchas variantes de problemas con monedas, cambiando algunos datos o condiciones se puede generar otros problemas, quien sabe, quizás más difíciles… por ejemplo, se podría poner la condición de que todas las monedas verdaderas pesan 25g y que todas las monedas falsas pesan 20g, o quizás en vez de las balanzas usuales tener una balanza electrónica que indique la diferencia de los pesos….

Bueno, por ahora les presento estos dos problemas (en ambos las balanzas son como la de la figura, solo comparan) , el primero es del Torneo de las Ciudades 2001, se pueden dar cuenta por el tradicional nombre ruso Kolya:

1) A Kolya le dijeron que 2 de sus 4 monedas son falsas. Él sabe que todas las monedas verdaderas tienen el mismo peso, que todas las monedas falsas tienen el mismo peso, y que el peso de una moneda verdadera es mayor que el de una moneda falsa. ¿Puede Kolya comprobar lo que le dijeron usando una balanza exactamente 2 veces?

2) Tenemos 3 monedas y sabemos con seguridad que una de ellas es falsa; pero no sabemos si la moneda falsa pesa menos o más que las monedas verdaderas (las monedas verdaderas pesan todas igual). ¿ Es posible determinar la moneda falsa usando dos veces la balanza, y que en el proceso se determine si la moneda falsa pesa menos o más que la moneda verdadera?

febrero 4, 2008

Una ecuación diofántica con 2008

Filed under: retos — Matemática @ 2:09 pm

A pedido de Mario Ynocente Castro les propongo el siguiente reto:

Demostrar que existen infinitas cuaternas (x,y,z,w) de enteros positivos tales que:

x^3+y^3+z^3=2008^w
Después les indico la fuente…

febrero 2, 2008

Soluciones, Semana 4

Filed under: General — Matemática @ 2:36 pm

Ya pueden ver aquí las soluciones de la Semana 4, las que escogí para ser publicadas son de Brian (4.1) , Alex Aguirre (4.2 a) y Roy (4.3).

 

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