Olimpiada Nacional Escolar de Matemática

Enero 9, 2008

Comparando números grandes

Archivado en: General — Jorge Tipe @ 6:13 pm

A ver cómo les va con este problema que saqué de la Gazeta Matemática, de Rumania; este problema estaba dirigido a alumnos de 6to y 7mo grado de escolaridad. En este problema no hay límites de tiempo, ni reglas como en los Problemas Semanales, el que quiere comenta o sube su solución…¿se animan?

¿ Cuál de los siguientes dos números es mayor: 2^{54} ó (3^{35}-3^{34}) ?


7 comentarios »

  1. Hola a todos…
    sabemos que 3^6>2^6...(1),
    ademas 3^7=2187 y 2^{12}=2048 => 3^7>2^{12} => 3^{28}>2^{48}...(2)
    Luego multiplicando (1) y (2) tenemos :
    3^{34}>2^{54} ->3^{35}-3^{34}=2.3^{34}>2^{55}>2^{54}.
    de donde Concluimos que 3^{35}-3^{34} es mayor que 2^{54}.

    Exitos !!

    Atte : $Amilcar Velez$

    Comentario por Aev5peru — Enero 9, 2008 @ 9:33 pm | Responder

  2. Hola a todos…!!
    Sabemos: 3^7>2^{12}->3^{28}>2^{48}...(1)
    Ademas : 3^6>2^5...(2)
    De (1) y (2) : 3^{34}>2^{53}->3^{35}-3^{34}=2.3^{34}>2^{54}, Luego concluimos que 2^{54} es menor que 3^{35}-3^{34}.
    Exitos!!

    Comentario por aev5peru — Enero 9, 2008 @ 10:09 pm | Responder

  3. Saludos,… no se que paso arriba, espero que esta vez este bien:
    Solucion

    El mayor es (3^{35}-3^{34} , factorizando tenemos: 3^{34} *2 .
    Bien…. Comparemos 2^{53} con 3^{34} , (la representación lo hare con el símbolo > o o o ò 2*8^{17}

    Si tengo algun error, por favor haganme saber.

    Att. Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — Enero 10, 2008 @ 9:20 am | Responder

  4. Intenta escribir de otra forma la parte final de tu solución la de comparar la potencia de 2 con la potencia de 3 (no te entendi bien que querias poner al final por eso no puedo editar\corregir el código de tu coemntario)…cuando te salga bien borrare el último comentario.

    Comentario por Jorge Tipe — Enero 10, 2008 @ 12:42 pm | Responder

  5. Espero que ahora si se pueda ver:

    El mayor es (3^{35}-3^{34}) , factorizando tenemos: 3^{34} *2 .
    Bien…. Comparemos 2^{53} con 3^{34}*2 ,
    2^{53} , > o o o8^{17}*2 $

    Si tengo algun error, por favor haganme saber.
    Att. Virgilio Failoc

    Comentario por Virgilio Failoc — Enero 10, 2008 @ 5:40 pm | Responder

  6. La solución es simple:
    factorizando (3^{35} – 3^{34}) obtenemos 2x3^{34}.. ahora como nos pide la desigualdad podr{iamos dividir entre dos obteniendo para comparar a 2^{53} y 3^{34}.
    Ahora tenemos dos desigualdades: 1)2^2 > 2^3(9>8) y 2)3^7 > 2^{11}(2187>2048). Elevando 1) a la cuartan y 2) al cubo, luego multiplicamos obteniendo 3^{34} > 2^{53}.
    luego multiplicando por dos a ambos extremo y desfactorizando obtenemos: 3^{35} – 3^{34}>2^{54}.

    Comentario por JUAN CARLOS — Enero 15, 2008 @ 3:16 pm | Responder

  7. No son necesarios los corchetes en el código, si los pones no saldrán bien las fórmulas.

    Comentario por Jorge Tipe — Enero 15, 2008 @ 3:24 pm | Responder


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